등비수열의 극한 활용_난이도 상 (2023년 3월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

$2k-2 \le |x| < 2k$ 일 때, 

     $g(x)=(2k-1) \times f \left (\dfrac{x}{2k-1} \right )$

이다. (단, $k$ 는 자연수이다.)

 

$0<t<10$ 인 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 가 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 만나지 않도록 하는 모든 $t$ 의 값의 합을 구하시오. 

 

정답 $25$