$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은?
① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $\dfrac{11}{4}$ ⑤ $3$
