수악중독

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+4x+a=0$ 이 실근을 갖도록 하는 자연수 $a$ 의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④ 주어진 이차방정식의 판별식을 $D$ 라 하면 $\dfrac{D}{4}=4-a \ge 0$ $\therefore a \le 4$ 따라서 자연수 $a$ 의 개수는 $4$개다.

다항식 $P(x)$ 를 $x^2+2x-3$ 으로 나눈 나머지가 $2x+5$ 일 때, $P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ⑤ 다항식 $P(x)$ 를 $x^2+2x-3$ 으로 나눈 몫을 $Q(x)$ 라고 하면 $\begin{aligned}P(x)&=\left (x^2+2x-3 \right )Q(x)+2x+5\\ &=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+5\end{aligned}$ 이고, 이 등식은 $x$ 에 대한 항등식이 된다. $P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는 $P(1)$ 이므로 위 항등식에 $x=1$ 을 대입하면 $P(1)= 7$ 이다.

등식 $a(x+1)^2+b(x-1)^2=5x^2-2x+5$ 가 $x$ 에 대한 항등식일 때, 두 상수 $a, \; b$ 의 곱 $ab$ 의 값은? ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ② 주어진 항등식에 $x=-1$ 을 대입하면 $4b=5+2+5 \quad \therefore b=3$ 주어진 항등식에 $x=1$ 을 대입하면 $4a=5-2+5 \quad \therefore a=2$ $\therefore ab=2 \times 3 = 6$

복소수 $z=a+bi$ ($a, \; b$ 는 실수)에 대하여 등식 $2z+\overline{z}=3+5i$ 가 성립할 때, $a+b$ 의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ① $2z+\overline{z}= 2(a+bi)+a-bi = 3a+bi=3+5i$ $\therefore a=1, \; b=5$ $a+b=1+5=6$

직선 $2x+3y+6=0$ 을 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 직선의 $y$ 절편은? ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ③ 직선 $2x+3y+6=0$ 을 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 $2y+3x+6=0$ 이고, 이 직선의 $y$ 절편은 $-3$ 이다.

다항식 $\left ( x^2+x \right ) \left (x^2+x+1 \right )-6$ 이 $(x+2)(x-1)\left (x^2+ax+b \right )$ 로 인수분해될 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

원 $x^2+y^2=16$ 을 $x$ 축의 방향으로 $4$ 만큼 평행이동한 원이 점 $(4, \; a)$ 를 지날 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

좌표평면 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A}(-1, \; a)$, $\mathrm{B}(1, \; 1)$, $\mathrm{C}(a, \; -7)$ 이 한 직선 위에 있도록 하는 양수 $a$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ① 직선 $\mathrm{AB}$ 의 기울기와 직선 $\mathrm{BC}$ 의 기울기가 같아야 하므로 $\dfrac{a-1}{-1-1} = \dfrac{-7-1}{a-1}$ $(a-1)^2=16$ $a-1= \pm 4$ $\therefore a=5 \; \;(\because a>0)$

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(0, \; a)$, $\mathrm{B}(-3, \; 0)$, $\mathrm{C}(1, \; 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. $\angle \mathrm{ABC}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{AC}$ 의 중점을 지날 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $\sqrt{5}$ ② $\sqrt{6}$ ③ $\sqrt{7}$ ④ $2\sqrt{2}$ ⑤ $3$ 더보기 정답 ③ 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 는 $\mathrm{\overline{BA}=\overline{BC}}$ 인 이등변삼각형이다. $\overline{\mathrm{BA}}^2 = a^2 + 9$ $\overline{\mathrm{BC}}^2..

원 $(x-6)^2+(y+3)^2=4$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{Q}$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}(0, \; -5)$ 에 대하여 $\mathrm{\overline{AQ}+\overline{QP}}$ 의 최솟값은? ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ① 점 $\mathrm{A}$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A'}$ 라고 하면 점 $\mathrm{Q}$ 의 위치에 관계없이 $\mathrm{\overline{AQ}=\overline{A'Q}}$ 가 성립한다. 결국 $\mathrm{\overline{AQ}+\overline{QP}=\overline{A'Q}+\overline{QP}}$ 이고, ..