대칭이동 활용_최단거리_난이도 중 (2020년 9월 전국연합 고1 13번)

 

 

원 $(x-6)^2+(y+3)^2=4$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{Q}$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}(0, \; -5)$ 에 대하여 $\mathrm{\overline{AQ}+\overline{QP}}$ 의 최솟값은?

 

① $8$          ② $9$          ③ $10$          ④ $11$          ⑤ $12$

 

 

정답 ①

 

점 $\mathrm{A}$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A'}$ 라고 하면 

점 $\mathrm{Q}$ 의 위치에 관계없이 $\mathrm{\overline{AQ}=\overline{A'Q}}$ 가 성립한다.

결국 $\mathrm{\overline{AQ}+\overline{QP}=\overline{A'Q}+\overline{QP}}$ 이고, 

$\mathrm{\overline{A'Q}+\overline{QP}}$ 의 최단거리를 구하는 것은 

점 $\mathrm{A'}$ 로 부터 원주 위의 점 $\mathrm{P}$ 까지의 최단거리를 구하는 것과 같다.

따라서 점 $\mathrm{A'}$ 로 부터 원의 중심 $(6, \; 4)$ 까지의 거리에서 원의 반지름 $2$ 를 빼 준것이 최단거리가 된다.

 

$\therefore \sqrt{36+64}-2 = 10-2= 8$