수악중독

$a_1 =1,\;\;a_2 = 2,\;\;a_3 =3$ 이고 모든 자연수 $n$ 에 대하여$a_{4n+k} =a_n +k\;\;\;(k=0,\;1,\;2,\;3)$ 로 정의되는 수열 $\{a_n \}$ 이 있다. 이때 $a_{2009}$ 의 값을 구하시오. 정답 11

다음 그림과 같이 점 $\rm A$ 에서 $\rm F$ 까지 6개의 점이 선분으로 연결된 도형 위를 점 $\rm P$가 1초마다 선분을 따라 한 칸씩 이동한다. 이 때, 점 $\rm P$가 어느 한 점에 위치하면 그 점에 모이는 선분 중에서 하나를 같은 확률로 선택하여 이동한다. 점 $\rm P$가 점 $\rm A$를 출발하여 10초 동안 움직인 후 점 $\rm F$에 도착하여 멈출 확률을 $2^\alpha \cdot 3^\beta$라 할 때, $\left| {\alpha \beta } \right|$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$는 $\rm A$ 또는 $\rm F$에 도착하면 멈춘다.) 정답 15

그림과 같이 반지름의 길이가 $a$ 인 반원 $\rm C_1$ 에 내접하는 정사각형을 $A_1$ 이라 하자. $A_1$ 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 $\rm C_2$ 에 내접하는 정사각형을 $A_2$ 라 하자. $A_2$ 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 $\rm C_3$ 에 내접하는 정사각형을 $A_3$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 정사각형을 만들어 나갈 때, 이들 정사각형의 넓이의 합은? ① $a^2$ ② $2a^2$ ③ $3a^2$ ④ $4a^2$ ⑤ $5a^2$ 정답 ④

수직선 위의 두 점 $\rm A_1 (0) ,\; A_2 (90)$ 에 대하여 $\overline {\rm A_1 A_2}$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_3$, $\overline{\rm A_2 A_3}$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_4 , \; \cdots , \; \overline{{\rm A}_{\it n} {\rm A}_{{\it n}+1}}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 ${\rm A}_{n+2}$ 라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 의 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 72

임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 개의 자연수 $a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n$ 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이라 한다. 예를 들어, ${\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12) = 3+1+9+3=16$ 이다. ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이 다음과 같은 성질을 만족한다. (가) 자연수 $a$ 에 대하여 ${\rm P} (2a) = {\rm P} (a)$ 이다. (나) 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b,..

6개의 양수 $a,\; b,\; c,\; x,\; u,\; z$ 에 대하여 \(a

그림과 같이 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )$ ( $n$ 은 자연수) 에서의 접선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n$ 이라 하고, 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n {\rm R}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 이 때, $\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{7}$ ⑤ $\dfrac{1}{8}$ 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 주어진 함수 $f(x)$ 에 대하여 수열 $\{x_n\}$ 이 $x_1 >0,\;\; x_{n+1} = f(x_n)$ 으로 정의되어 있다. 이 때, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \left\{{\begin{array}{ll}{\;(가)\;\;\; \left( {0 < {x_1} < 1} \right)}\\{\; (나)\;\;\; \left( {1 < {x_1} < 2} \right)}\\{\; (다)\;\;\; \left( {2 < {x_1} < 3} \right)}\end{array}} \right.$ 라고 한다. 이 때, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 합한 값을 구하시오. 정답 4

서로소인 두 양수 $p. \;q$ 에 대하여 ${\rm log}_9 p= {\rm log}_{15} 2q = {\rm log}_{25} (p+q)$ 가 성립할 때, $\dfrac{q}{p}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{5}$ ② $\dfrac{25}{9}$ ③ $\dfrac{5}{3}$ ④ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ⑤ $\dfrac{1+\sqrt{17}}{8}$ 정답 ⑤

이차정사각행렬 $A,\;B$ 에 대하여 $(A+B)^{-1} = A^{-1} +B^{-1} , \; AB+E=O$ 가 성립할 때, $A^2 +B^2$ 을 간단히 하면? (단, $X^{-1}$ 는 $X$ 의 역행렬, $E$ 는 단위행렬, $O$ 는 영행렬) ① $A$ ② $B$ ③ $O$ ④ $-E$ ⑤ $E$ 정답 ⑤