수학1_여러 가지 수열_시그마 기호_난이도 상

임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 개의 자연수 $a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n$ 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이라 한다. 예를 들어, ${\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12)  = 3+1+9+3=16$ 이다.  ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이 다음과 같은 성질을 만족한다.

(가) 자연수 $a$ 에 대하여 ${\rm P} (2a) = {\rm P} (a)$ 이다.
(나) 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 ${\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b, \;a)$ 이다.
(다) 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 ${\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (a)+{\rm P} (b)$ 이다.

연속한 $2^n$ 개의 자연수 $1, \;2, \;3, \; \cdots ,\; 2^n$ 에 대하여 $S_n ={\rm P} \left (1, \; 2,\; 3,\; \cdots , \; 2^n \right )$ 이라 할 때, $S_n$ 을 구하면?

① $\dfrac {4^n +2}{3}$                                ② $4 \cdot 3^{n-1} - 2^n$
③ $6n^2 -14n +10$                  ④ ${\dfrac {n(n-1)(2n-1)}{6}} +2$
⑤ $2^{2^{n} -1} -1$ 

정답 ①