수악중독

그림과 같이 넓이가 $1$ 인 정삼각형 $A_0$ 에서 시작하여 도형 $A_1 , \; A_2 , \; \cdots$ 를 만든다. 여기서 $A_n$ 은 $A_{n-1}$ 의 각 변의 $3$ 등분점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 $A_{n-1}$ 의 바깥쪽에 덧붙인 도형이다. (1) 도형 $A_n$ 의 변의 개수를 구하시오. (2) 도형 $A_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라고 할 때, $S_n$ 을 구하시오. 정답 (풀이 참조)

다음 식의 값을 구하시오.$\sum \limits _{n=0}^{50} (-1)^{n+1} \cdot \tan { \frac{n}{3}} \pi$ 정답 $2\sqrt{3}$

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 분모는 $2^n$ 꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수로 이루어진 수열 $\frac {1}{2^2} , \;\; \frac {3}{2^2} , \;\; \frac {1}{2^3} , \;\; \frac {3}{2^3} , \;\; \frac {5}{2^3} , \;\; \frac {7}{2^3} , \;\; \frac {1}{2^4} , \;\; \frac {3}{2^4} , \;\; \cdots$ 에서 제 $126$ 항과 첫째항부터 제 $126$ 항까지의 합을 구하여라. 정답 ${\Large \frac{127}{128}},\; 63$

정답 ③

그림과 같은 $\angle {\rm B} = 90^o ,\;\; \angle {\rm C} = 10^o$ 인 직각삼각형 모양의 실험도구가 있다. $\rm B$ 에서 발사된 빛이 변 $\rm AC$ 와 변 $\rm BC$ 사이에서 여러 번 반사되어 변 $\rm AC$ 또는 변 $\rm BC$ 에 수직으로 도달하면 다시 $\rm B$ 로 되돌아온다고 한다. $\rm B$ 에서 각 $\theta$ 의 크기로 발사된 빛이 최대한 많은 횟수로 반사되어 $\rm B$ 로 되돌아올 때, 각 $\theta$ 의 크기를 $\dfrac{\pi}{a}$ 라 하자. 이 때, $a$ 의 값을 구하시오. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) 정답 18

올해 말부터 매년 말에 일정 금액을 12년간 받는 연금이 있다. 이 연금을 올해 초에 모두 받는다면 2500만 원을 받을 수 있다. 갑은 이 연금을 5년 동안은 그냥 받다가 6년째 초에 남은 연금을 모두 받고자 한다. 6년째 초에 약 얼마의 연금을 받을 수 있겠는가?? ( 단 연이율 6%의 복리이고, 1.06^12=2, 1.06^7=1.5 이다) 정답 $\Large \frac{5000}{3}$

$5^3$개의 작은 정육면체를 쌓아 새로운 $5\times 5\times 5$ 정육면체를 만든다. 이 도형의 선을 따라 갈라서 만들 수 있는 육면체 중에서 정육면체가 아닌 것의 개수를 구하시오. 정답 3150

양의 정수 $n$에 대하여 $\left ( 4x^3 - {\dfrac{1}{2x^2}} \right)^n$을 전개했을 때 상수항이 존재하도록 하는 $n$의 최솟값을 구하고, 그 때의 상수항을 구하시오. 정답 n=5, 상수항=-20

집합 $A=\left \{ 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\right\}$에 대하여 $f=f^{-1}$가 성립하도록하는 함수 $f\; : \; A \rightarrow A$의 개수를 구하시오. (단, $f^{-1}$는 $f$ 의 역함수이다.) 정답 76

8가지 서로 다른 색을 이용하여 아래 그림과 같은 정사면체의 모든 면에 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수는? (단, 한 면에 한 가지 색만 칠하고, 이 정사면체는 회전 가능하다.) ① $70$ ② $140$ ③ $210$ ④ $420$ ⑤ $560$ 정답 ② [관련개념] [수능 수학/수능수학] - 정다면체 주사위 만들기 (정다면체 색칠하기)