수악중독

실수 \(t \) 에 대하여 \(x,\;y\) 에 대한 연립방정식 \( \left\{ \begin{array}{ll} ax + by = {2^t} \\ cx + dy = {2^{2 - t}} \end{array}\right.\) 이 있다. 등식 \(\left( \begin{array}{cc} 2& - 3\\ 6&5\end{array} \right)\left( {\begin{array}{cc}a&b\\c&d \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}} \right)\) 이 성립할 때, \(x+y\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 16 맨 마지막 줄에서는 산술기하 평균을 이용했습니다.

\(\overline{\rm AB} = \sqrt{3},\;\overline{\rm BC} =1,\; \overline{\rm CA} =2\)인 직각삼각형 \(\rm AB\)에 외접하는 직사각형 \(\rm APQR\)가 있다. 점 \(\rm B\)는 선분 \(\rm PQ\) 위에 있고, 점 \(\rm C\)는 선분 \(\rm QR\) 위에 있다. \(\angle \rm BAP = \theta\)라 할 때, 사각형 \(\rm APQR\)의 넓이가 최대가 되는 \(\cos 2\theta\)의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 정답..

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(5\)인 정삼각형 \(\rm OAB\)에서 변 \(\rm OB\) 위에 \(\overline{\rm OD} = 4\)인 점 \(\rm D\)를 잡는다. 꼭짓점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm AD\) 위에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라 할 때, \({\overrightarrow{\rm OH}}=l{\overrightarrow{\rm OA}}+m{\overrightarrow{\rm OB}}\)가 성립한다. 두 상수 \( l, \; m\)에 대하여 \(l^2 +m^2 \)의 값은? ① \(\Large \frac{12}{49}\) ② \(\Large \frac{2}{7}\) ③ \(\Large \frac{16}{49}\) ④ \(\Large \frac{18}..

점 \({\rm A}(1,\;-1,\;2)\) 에서 직선 \(g\; :\) \(\dfrac{x+1}{2}\)\(=y-4=\)\(\dfrac{z-7}{-3}\)에 내린 수선의 발을 \({\rm H}(a,\;b,\;c)\)라 할 때, \(a^2 +b^2 +c^2 \)의 값을 구하시오. 정답 42

아래 그림과 같이 중심이 원점 \(\rm O\)이고, 반지름의 길이가 \(1\)이며, 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\)를 지나는 반원 모양의 조형물이 \(xz\)평면 위에 놓여 있다. 점 \({\rm P}(0,\;-1,\;2)\)의 위치에 있는 광원에서 빛을 비추었을 때 이 조형물에 의해 \(xy\)평면에 생기는 그림자의 모양은 타원의 일부가 된다. 이 타원의 장축의 길이는? ① \(\Large \frac{4\sqrt{3}}{3}\) ② \(\Large \frac{5\sqrt{2}}{3}\) ③ \(2\sqrt{2}\) ④ \(2\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{7\sqrt{2}}{3}\) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 \(4,\;1\) 인 두 구가 서로 외접하며 평평한 바닥 \(\alpha\) 의 \(\rm A,\;B\) 지점에 닿도록 놓여 있다. 또, 점 \(\rm A\) 를 지나며 직선 \(\rm AB\) 에 수직인 직선 \(l\) 이 평면 \(\alpha\) 위에 그어져 있다. 이때, 두 구의 맨 위 지점 \(\rm P,\;Q\) 를 지나고 직선 \(l\) 에 평행한 평면으로 두 구를 자를 때, 두 구의 단면의 넓이의 합은 \(\dfrac{k}{13}\pi\) 이다. 상수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 153

오른쪽 그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=8,\; \overline{\rm AE}=6,\; \overline{\rm AD}=16\)인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\)에서 변 \(\rm CD, \; GF\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\)라 할 때, 평면 \(\rm ADGF\)와 평면 \(\rm APQ\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 이 때, \(\cos \theta\)의 값은? ① \(\Large \frac{1}{3}\) ② \(\Large \frac{\sqrt{2}}{3}\) ③ \(\Large \frac{2}{3}\) ④ \(\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ⑤ \(\Large \frac{4}{3}\) 정답 ④

\(n\) 명으로 이루어진 독서 클럽에서 \(1\) 년 동안 매일 \(4\) 명씩 모여 릴레이 토론을 하는데, 이들 \(4\) 명씩의 집합이 모두 서로 다르도록 하는 \(n\) 의 최솟값은? ① \(10\) ② \(12\) ③ \(14\) ④ \(16\) ⑤ \(18\) 정답 ②

집합 \(A\) 를 다음과 같이 정의하면 집합 \(A\) 의 원소의 개수는 \(_{10} {\rm C} _3 =120\) 개다.\[A=\{ 100a+10b+c\;\;|\;\; a>b>c,\;\;\;a,\;b,\;c\;는\;0\;부터\;9\;까지의 \;정수\}\] 집합 \(A\) 의 원소를 가장 작은 것부터 가장 큰 것까지 순서대로 나열할 때, \(30\) 번째의 수는? ① \(532\) ② \(543\) ③ \(621\) ④ \(643\) ⑤ \(652\) 정답 ④

두 숫자 \(1,\;2\) 중 어느 한 숫자를 \(5\) 번, 다른 숫자를 \(3\) 번 사용하여 \(8\) 자리 비밀번호를 만드는데, \(21111212,\;\; 12221111,\;\;22221121\) 등과 같이 \(5\) 번 사용하는 숫자는 네 개가 연속하여 나오고, 다섯 개는 연속하여 나올 수 없다. 이와 같이 만들어지는 비밀번호의 개수는? ① \(16\) ② \(18\) ③ \(20\) ④ \(22\) ⑤ \(24\) 정답 ⑤