수악중독

그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 각각 \(1,\;2,\;3,\;4,\;5\) 인 다섯 개의 원이 있다. 이 다섯 개의 원을 경계로 하여 안에서부터 다섯 개의 영역 \(A,\;B,\;C,\;D,\;E\) 로 나누고, 서로 다른 \(3\) 가지 색의 물감을 칠하여 색칠된 문양을 만들려고 한다. 각 영역은 \(1\) 가지 색으로만 칠하고, 이웃한 영역은 서로 다른 색을 칠한다. \(3\) 가지 색의 물감은 각각 \(10\) 통 이하만 사용할 수 있고 물감 \(1\) 통으로는 영역 \(A\) 의 넓이 만큼만 칠할 수 있을 때, 만들 수 있는 서로 다르게 색칠된 문양의 개수는? ① \(9\) ② \(12\) ③ \(15\) ④ \(18\) ⑤ \(21\) 정답 ②

\(50\) 이하의 자연수 \(n\) 중에서 \(\sum \limits _{k=1}^{n} {_n {\rm C} _k}\) 의 값이 \(3\) 의 배수가 되도록 하는 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 25

다음은 \(n\) 이 \(2\) 이상의 자연수일 때 \(\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right )^2\) 의 값을 구하는 과정이다. 두 다항식의 곱 \(\left ( a_0 +a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right ) \left ( b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n \right ) \) 에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 \(a_0 b_{n-1} +a_1 b_{n-2} + \cdots + a_{n-1} b_0\;\;\;\cdots \cdots (*)\) 이다. 등식 \((1+x)^{2n-1} = (1+x)^{n-1} (1+x)^n \) 의 좌변에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 ( 가 )이..

함수 \( f(x) = {\rm sin} \dfrac{x^2 + x }{2} \) 에 대한 보기의 설명 중에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. \( 0 < x < 1 \) 일 때, \( \dfrac{1}{2} {\rm sin} x \leq f(x) \leq {\rm sin} x \) 이다. ㄴ. 구간 \( (0,\;1)\)에서 곡선 \(y=f(x)\) 는 위로 볼록이다. ㄷ. \( \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1-{\rm cos}1} \displaystyle\int_0^1 {f(x){\rm{d}}x \le 1} \) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 제 \(1\) 사분면 위의 점 \({\rm A}(8,\;1)\) 을 지나는 직선이 \(x\) 축 및 \(y\) 축의 양의 부분과 각각 점 \(\rm P,\;Q\) 에서 만난고, \(\angle \rm OPQ = \theta\) 라고 할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 길이의 최솟값은 \(l\) 이다. 이 때, \(l^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 125

함수 \(f(x)\)는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f(0)=0,\; f(1)=1,\;f~'(0)={\Large \frac{1}{3}},\;f~'(1)=2\) (나) 구간 \((0,\;1)\)에서 \(f~'(x)>0,\;f~''(x)>0\) 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 하고, \(g(x)\) 의 이계도함수가 존재할 때, 정적분 \[\int_0^1 {\left| {{{g''\left( {g\left( x \right)} \right)} \over {f~'\left( {g\left( x \right)} \right)}}} \right|} \;dx\] 의 값을 구하시오. 정답 2.5

함수 \(f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)\) 과 직선 \(x=n-1,\; x=n\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 \(V_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{5\pi}{2}\) 정답 ①

구간 \(0 \le x \le 1\) 에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 그림과 같고, \(f\; ' (x)>0\;\; \left ( 0

연속된 세 자연수를 세 변의 길이로 하는 삼각형에 대하여 가장 큰 각의 크기가 가장 작은 각의 크기의 두 배가 될 때, 이 삼각형의 둘레의 길이의 합은? ① 15 ② 16 ③ 18 ④ 20 ⑤ 21 정답 ①

방정식 \(\sqrt{2-2\cos \pi x}={\Large \frac{1}{4}}x\)의 실근의 개수는? (단, \(0 \le x \le 8\)) ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 정답 ③