수악중독

두 함수 $f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$ 가 실근을 갖지 않을 때, $60k$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $10$ $\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}$ 를 만족하는 $k$ 가 $\dfrac{5}{6}$ 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 $k=\dfrac{5}{6}$ 이 되면 $x=1$ 에서의 함숫값은 $\dfrac{1}{2}$ 보다 작아지지만 그 전에 이미 $y=f(x)$ 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.

모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(3x)=9f(x)$ 를 만족하는 다항함수 $f(x)$ 가 있다. $x=1$ 에서 연속인 함수 $g(x)$ $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\ {f'\left( 1 \right)}&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.$를 으로 정의할 때, $g(12)$ 의 값을 구하시오. 정답 $13$

자연수 $a, \;b$ 에 대하여 함수 $f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+b}+2x-1}{x^n+1} \;\;(x>0)$ 이 $x=1$ 에서 미분가능할 때, $a+10b$ 의 값을 구하시오. 정답 $21$

역함수가 존재하는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 \(f'(a)=0 \;(1

삼차함수 $f(x)=x^3+6x^2+15x+a$ 와 실수 $t$ 에 대하여 $f(t)$ 와 $f'(t)$ 중 크지 않은 값을 $g(t)$ 라 하자. $g(t)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, $a$ 의 값은? ① $10$ ② $12$ ③ $14$ ④ $16$ ⑤ $18$ 정답 ④

함수 $f(x)$ 가 임의의 두 실수 $x, \;y$ 에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1$ 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(0)=1$ ㄴ. 함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 $f(x)=0$ 은 구간 $(-1, \;1)$ 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 있다. 이 원에 내접하는 반지름의 길이가 $\dfrac{1}{n}$ 인 원 $\rm O_1$ 을 그리고, 중심 $\rm O$ 에서 원 $\rm O_1$ 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 $\theta_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{14n^2 +1}{2n+1} \right ) \theta_n$ 의 값을 구하시오. (단, $n>3$) 정답 $14$

$3^{x-1} +3^y = 3^{x+y}$ 에서 $y=f(x)$ 라 할 때, $\left | \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \right |$ 의 값을 구하여라. 정답 $1$

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 $\rm P, \;Q$ 를 \(\angle \rm ABP= \angle \rm BAQ =\theta \;\; \left ( 0

$\overline{\rm AB}=1, \; \angle {\rm A}=2 \theta, \; \angle {\rm C}= \theta \; \left ( 0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 연장선 위의 점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 두 점 $\rm B, \;C$ 를 지나는 반원을 그린다. 직선 $\rm AC$ 가 반원과 만나는 점 중에서 $\rm C$ 가 아닌 점을 $\rm P$ 라 할 때, $\rm P$ 와 직선 $\rm BC$ 사이의 거리를 $l(\theta)$ 라 하자. \[ \lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{6} -0} \lef..