수악중독

두 함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\) 가 실근을 갖지 않을 때, \(60k\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(10\) \(\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(k\) 가 \(\dfrac{5}{6}\) 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 \(k=\dfrac{5}{6}\) 이 되면 \(x=1\) 에서의 함숫값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작아지지만 그 전에 이미 \(y=f(x)\) 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.

모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(3x)=9f(x)\) 를 만족하는 다항함수 \(f(x)\) 가 있다. \(x=1\) 에서 연속인 함수 \(g(x)\) \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\ {f'\left( 1 \right)}&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.\]를 으로 정의할 때, \(g(12)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)

자연수 \(a, \;b\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+b}+2x-1}{x^n+1} \;\;(x>0)\) 이 \(x=1\) 에서 미분가능할 때, \(a+10b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(21\)

역함수가 존재하는 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(a)=0 \;(1

삼차함수 \(f(x)=x^3+6x^2+15x+a\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 \(f(t)\) 와 \(f'(t)\) 중 크지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, \(a\) 의 값은? ① \(10\) ② \(12\) ③ \(14\) ④ \(16\) ⑤ \(18\) 정답 ④

함수 \(f(x)\) 가 임의의 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1\] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) ㄴ. 함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((-1, \;1)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 이 원에 내접하는 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 원 \(\rm O_1\) 을 그리고, 중심 \(\rm O\) 에서 원 \(\rm O_1\) 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{14n^2 +1}{2n+1} \right ) \theta_n \) 의 값을 구하시오. (단, \(n>3\)) 정답 \(14\)

\(3^{x-1} +3^y = 3^{x+y} \) 에서 \(y=f(x)\) 라 할 때, \( \left | \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \right | \) 의 값을 구하여라. 정답 \(1\)

그림과 같이 길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 \(\rm P, \;Q\) 를 \(\angle \rm ABP= \angle \rm BAQ =\theta \;\; \left ( 0

\(\overline{\rm AB}=1, \; \angle {\rm A}=2 \theta, \; \angle {\rm C}= \theta \; \left ( 0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위의 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 두 점 \(\rm B, \;C\) 를 지나는 반원을 그린다. 직선 \(\rm AC\) 가 반원과 만나는 점 중에서 \(\rm C\) 가 아닌 점을 \(\rm P\) 라 할 때, \(\rm P\) 와 직선 \(\rm BC\) 사이의 거리를 \(l(\theta)\) 라 하자. \[ \lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{6} -0} \lef..