수악중독

양수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)=ax^2+2\cos x\) 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\) 의 범위는? ① \(0

다음은 함수의 증가, 감소를 이용하여 두 수 \(2004^{2005}\) 와 \(2005^{2004}\) 의 대소 관계를 알아보는 과정이다. (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) 함수 \(f(x)=x^{\frac{1}{x}} \;\;(x>0)\) 에 대하여 \(x>e\) 일 때, \(f'(x)\) [ (가) ] \(0\) 이므로 \(f(2004)\) [ (나) ] \(f(2005)\) 따라서 \(2004^{2005}\) [ (다) ] \(2005^{2004}\) 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 부등호를 순서대로 적은 것은? ① \(>,\; >, \;>\) ② \(>,\; \) ⑤ \(, \;

그림은 함수 \( f(x) = \left \{ {\begin{array}{cl}1 & {\left( {x \le 0} \right)} \\ {-x+1} & {\left( {x>0} \right ) }\end{array}} \right. \) 의 그래프이다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int _{-1}^x e^t f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1-\dfrac{1}{e}\) ㄴ. 함수 \(g(x)\) 는 극댓값 \(e- \dfrac{1}{e}\) 을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=0\) 의 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 가 \(f(-1)=-1, \; f(0)=1, \; f(1)=0\) 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 인 실수 \(a\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 두 개 이상 존재한다. ㄴ. \(f'(b)=-1\) 인 실수 \(b\) 가 구간 \((-1, \; 1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. \(f''(c)=0\) 인 실수 \(c\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

그림과 가이 함수 \(f(x)=1-e^{-x}\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 원점 \(\rm O\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_1\), 점 \(\rm Q_1\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \(\rm P_{\it n}\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_{\it n}\), 점 \(\rm Q_{\it n}\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm ..

그림과 같이 함수 \(y=\ln x+4, \;\; y=e^{x-4}\) 의 그래프의 두 교점의 \(x\) 좌표를 각각 \(a,\;b\) 라 하자. 일차함수 \(y=-x+k\) 의 그래프가 \(a\leq x \leq b\) 에서 두 함수의 그래프와 만나는 점 사이의 거리가 최대가 될 떄, 상수 \(k\) 의 값은? ① \(\dfrac{7}{2}\) ② \(4\) ③ \(\dfrac{9}{2}\) ④ \(5\) ⑤ \(\dfrac{11}{2}\) 정답 ④

그림과 같이 곡선 \()y=x^2\) 위의 점 \({\rm P} \left ( 2a, \; 4a^2 \right ) \) 에서의 접선 \(l\) 이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하고, 점 \(\rm A\) 를 지나고 접선 \(l\) 에 수직인 직선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm OAB\) 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(a)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{a \to \infty} r(a)\) 의 값은? (단, \(a>0, \; \rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{8}\) ④ \(\dfrac{1}{6}\)..

곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 직선 \(y=mx \;(m \ne -2)\) 의 두 교점을 \(\rm O, \;P\) 라 하고, \(\rm O, \;P\) 에서 곡선에 그은 두 접선의 교점의 \(x\) 좌표가 \(3\) 일 때, 곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 선분 \(\overline{\rm OP}\) 로 둘러싸인 부분에 내접하는 삼각형 \(\rm OPQ\) 의 넓이가 최대가 되는 점 \(\rm Q\) 의 좌표를 \((a, \;b)\) 라고 한다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(6\)

원점에서 곡선 \(y=(x-a)e^{-x}\) 에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 자연수 \(a\) 의 최솟값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

곡선 \(y=-\ln (x-1)\) 을 \(y\) 축의 양의 방향으로 \(k\) 만큼 평행이동시키면 곡선 \(y=\ln (2x+1)+1\) 과 직교한다고 한다. 이때, 다음 중 \(k\) 의 값이 속하는 구간은? (단, 두 곡선이 직교한다는 것은 교점에서의 두 접선이 직교한다는 것을 뜻한다.) ① \(-2