수학2_함수의 극한_극한의 활용_난이도 중

두 함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\) 가 실근을 갖지 않을 때, \(60k\) 의 최댓값을 구하시오.

 

 

정답 \(10\)

 

 

\(\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(k\) 가 \(\dfrac{5}{6}\) 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 \(k=\dfrac{5}{6}\) 이 되면 \(x=1\) 에서의 함숫값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작아지지만 그 전에 이미 \(y=f(x)\) 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.