수악중독

$y=2 \cos ^2 x+(\sin x + \cos x)^2 + \sin 2x \cos 2x$ 의 최솟값은? (단, $0 \leq x \leq \pi$) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $6$ 정답 ①

두 이차정사각행렬 $A, \; B$ 가 $AB+A^2B=E,\;\;\; (A-E)^2+B^2=O$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.) ㄱ. $B$ 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. $AB=BA$ ㄷ. $\left ( A^3 -A \right )^2 +E=O$ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm AB$ 를 한 변으로 하고, $\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}, \; \angle \rm ACB=\theta$ 인 이등변 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 연장선 위에 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}$ 인 점 $\rm D$ 를 잡고, $\overline{\rm AC}=\overline{\rm AP}$ 이고 $\angle \rm PAB = 2 \theta$ 인 점 $\rm P$ 를 잡는다. 삼각형 $\rm BDP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \left ( ..

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=f(x)e^{-x}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\left ( 1,\; g(1) \right )$ 과 점 $\left ( 4,\; g(4) \right )$ 는 곡선 $y=g(x)$ 의 변곡점이다. (나) 점 $(0, \;k)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은 접선의 개수가 $3$ 인 $k$ 의 값의 범위는 \(-1

이차함수 $f(x)=x^2 -ax$ 와 실수 $t$ 에 대하여 좌표평면에서 중심이 $\left ( t,\; f(t) \right )$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원이 있다. 이 원 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm OQ$ 의 길이의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. $g(t)$가 두 점에서만 미분가능하지 않을 때, $a^2 + 4r^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $r$ 은 양의 상수이고, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $35$

함수 $f(x)=kx^2 e^{-x} \;\;(k>0)$ 과 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\left ( t,\; f(t) \right )$ 에서 $x$ 축까지의 거리와 $y$ 축까지의 거리 중 커지 않은 값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 $k$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{e}$ ② $\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ ③ $\dfrac{e}{2}$ ④ $\sqrt{e}$ ⑤ $e$ 정답 ⑤

반지름의 길이가 $1$ 이고, 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{3}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 그림과 같이 선분 $\rm OA$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm OB$ 위의 점 $\rm R$ 와 호 $\rm AB$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 에 대하여 사각형 $\rm PQRS$ 가 직사각형을 이룬다고 한다. $\angle \rm AOP = \theta$ 라 할 때, 직사각형 $\rm PQRS$ 의 넓이를 $T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{T(\theta)}{\theta}$ 의 값을 구하시오. 정답 $2$

이차함수 $f(x)=1-x^2$ 과 함수 $g(x)=|x-1|$ 에 대하여 방정식 $\dfrac{\left \{ f(x) - \sqrt{g(x)} \right \} \left \{f(x) +g(x) \right \} }{f(x)-g(x)} =0$ 의 실근의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ②

함수 $f(x)=\dfrac{1}{x} -2$ 와 집합 $A= \left \{ x \; | \; f(x) - \dfrac{a+1}{x-1} =0 ,\; x>0 \right \}$ 에 대하여 $n(A)=1$ 이 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은? (단, $n(A)$ 는 집합 $A$ 의 원소의 개수이다.) ① $-1-2\sqrt{2}$ ② $1-2\sqrt{2}$ ③ $2-2\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ②

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 모든 실수에서 연속인 함수 $g(x)$ 를 $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\a&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.$ 로 정의하자. $g(3)=g(1)$ 이고 $g(x)$ 의 최솟값이 $3$ 일 때, $f(a)$ 의 값을 구하시오. 정답 $22$