수악중독

중심이 원점 $\rm O$ 이고 초점 $\rm F_1$ 과 $\rm F_2$ 가 $x$ 축 위에 있는 타원이 있다. 점 $\rm F_1$ 에서 이 타원 위의 점 $\rm P$ 를 연결한 선분과 점 $\rm P$ 에서의 접선이 이루는 각이 $30^o$ 이고 원점 $\rm O$ 에서 접선까지의 거리가 $3$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는? ① $6$ ② $6\sqrt{3}$ ③ $12$ ④ $12\sqrt{3}$ ⑤ $18$ 정답 ③

오른쪽 그림과 같이 $\overline {\rm AB} = \overline {\rm CD}=5,\;\; \overline {\rm AC} = \overline {\rm BD}=6,\;\; \overline {\rm AD} = \overline {\rm BC}=7$ 인 사면체 $\rm DABC$ 가 있다. 이 사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 겉넓이를 $S$라 할 때, $\dfrac{S}{\pi}$ 의 값을 구하시오. 정답 55

그림과 같이 $y$ 축에 평행한 직선이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{4}-y^2 =1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\rm P,\;Q$ 라 하고 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 ${\rm A} (-2,\;0)$ , ${\rm B}(2,\;0)$ 를 지나는 직선 $\rm AP$ 와 $\rm BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 라고 한다. 선분 $\rm PQ$ 가 $y$ 축에 평행하게 움직일 때, 점 $\rm R$ 의 자취가 나타내는 도형에 대하여 점 $(3,\;2)$ 에서 이 도형에 그은 두 접선의 기울기를 각각 $T_1 ,\; T_2$ 라고 할 때, $10(T_1 + T_2 )$ 의 값을 구하시오. 정답 24

그림과 같은 좌표평면 위에서 두 점 $\rm A$ 와 $\rm B$는 동시에 각각 한 칸씩 움직인다. 점 $\rm A$ 는 $(0,\;0)$ 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 오른쪽 또는 위쪽으로 움직이고, 점 $\rm B$ 는 $(5,\;7)$ 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 왼쪽 또는 아래쪽으로 움직인다. 좌표평면 위에서 두 점이 만날 확률은? (단, $\rm O$ 는 원점이고, 각각 $6$ 번 움직이는 동안 가능한 최단 경로들 중에서 하나의 경로를 선택할 확률은 같다.) ① $\large \frac{19}{512}$ ② $\large \frac{29}{512}$ ③ $\large \frac{88}{441}$ ④ $\large \frac{121}{441}$ ⑤..

두 양수 $x,\;y$ 에 대하여 등식 $(\log _3 x)^2 +(\log _3 y)^2 = \log _9 x^2 + \log _9 y^2$ 이 성립할 때, $xy$ 의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$ 이다. $M+m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 10 $\log_3 x=X,\; \log_3 y=Y$ 라고 하면 $\log_9 x^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 x = X$ 이고, $\log_9 y^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 y = Y$ 가 된다. 따라서 주어진 식은 $X^2+Y^2=X+Y$ 가 되고 $X+Y= \log_3 x + \log_3 y = \log_3 xy$ 이므로 $xy=3^{X+Y}$ 가 된다. 결국 $X+Y$..

함수 $y=\log _2 \left | 5x \right |$ 의 그래프와 함수 $y=\log _2 (x+2)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \;B$ 라고 하자. $m>2$ 인 자연수 $m$ 에 대하여 함수 $y=\log _2 \left | 5x \right |$ 의 그래프와 함수 $y=\log _2 (x+m)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 ${\rm C} (p,\;q) ,\;\; {\rm D} (r,\;s)$ 라고 하자. 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 점 $\rm B$ 의 $x$ 좌표보다 작고 \(p

$A$ 는 세 자리의 자연수이고, $B$ 는 $900$ 보다 큰 세 자리의 자연수이다. $\log B$ 의 가수가 $\log A$ 의 가수의 $2$ 배일 때, 자연수 $A$ 의 값을 구하시오. 정답 310

$K$ 보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다. 최초 가입 시 단 한번 납입한 $1$ 억 원을 연이율 $5\%$, $1$ 년 단위의 복리로 계산하여 $10$ 년 후의 원리합계를 연근 준비금으로 한다. 가입하여 $10$ 년이 지난 후부터 매년 $A$ 원씩 연금을 영구히 받는다. $n$ 번째의 연금 $A$ 원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하면 $\Large \frac{A}{(1+0.05)^{n-1}}$ 원이다. 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아지도록 한다. $2005$ 년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 떄, $2015$ 년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은? (단, \(1...

무게가 $3^{20} {\rm g}$ 인 물건이 있다. 이 물건의 무게를 $1{\rm g},\; 10{\rm g},\; 10^2{\rm g},\; 10^3{\rm g},\; \cdots$ 등의 추를 사용하여 측정하고자 한다. 사용하고자 하는 추의 개수를 최소로 할 때, 사용되는 가장 무거운 추의 무게는? (단, $\log 2 =0.3010,\;\;\log 3=0.4771$ ) ① $10^7 {\rm g}$ ② $10^8 {\rm g}$ ③ $10^9 {\rm g}$ ④ $10^{10}{\rm g}$ ⑤ $10^{11} {\rm g}$ 정답 ③

$A$ 원의 목돈을 $3$ 개월마다 $2.5 \%$ 이율의 복리로 계산해 주는 예금에 $5$ 년 동안 예치하였다. 중간에 원금이나 이자를 한 번도 인출한 적이 없다고 할 때, $5$ 년 후의 원리 합계는 처음 원금의 약 몇 배가 되는가? (소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하고, 아래의 상용 로그표를 이용하시오.) 정답 1.64