수학1_지수함수와 로그함수_최대최소_난이도 중

두 양수 $x,\;y$ 에 대하여 등식 $(\log _3 x)^2 +(\log _3 y)^2 = \log _9 x^2 + \log _9 y^2$ 이 성립할 때, $xy$ 의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$ 이다. $M+m$ 의 값을 구하시오. 

정답 10

$\log_3 x=X,\; \log_3 y=Y$ 라고 하면 $\log_9 x^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 x = X$ 이고, $\log_9 y^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 y = Y$ 가 된다. 따라서 주어진 식은 $X^2+Y^2=X+Y$ 가 되고 $X+Y= \log_3 x + \log_3 y = \log_3 xy$ 이므로 $xy=3^{X+Y}$ 가 된다. 결국 $X+Y$ 가 최대일 때, $xy$도 최대이고 $X+Y$ 가 최소일 때 $xy$ 도 최소가 된다 따라서 $X+Y=k$ 라고 하면 원 $\left (X-\dfrac{1}{2} \right ) ^2 +\left ( Y-\dfrac{1}{2} \right )^2 = \dfrac{1}{2}$ 에 직선 $Y=-X+k$ 가 접할 때가 $k$ 가 최대 최소가 된다. 즉, 원의 중심 $\left ( \dfrac{1}{2},\; \dfrac{1}{2}\right )$ 에서 직선 $X+Y-k=0$ 까지의 거리가 반지름 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 와 같을 때 $k$ 가 최대, 최소가 되므로 $\dfrac{ \left | \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-k \right | }{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 따라서 $1-k= \pm 1$ 일 때가 최대, 최소일 때다. 결국 $k$ 의 최댓값은 $2$, 최솟값은 $0$ 이 되고, $xy$ 의 최댓값은 $3^2=9$, 최솟값은 $3^0=1$ 이 된다. $\therefore M=9,\; m=1,\;\;\; \therefore M+m=10$ 이다.