수악중독

$\left (1+2x+3x^2 +4x^3 + \cdots +11x^{10} \right )^2$ 의 전개식에서 $x^{10}$ 의 계수를 구하시오. 정답 286

모든 실수 $x$ 에 대하여 행렬 $A(x)$ 를 \(A(x) = \left ( \matrix {x-1 & 1 \\ -1 & x+1} \right )\) 이라 하자. 다음은 $n \ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\{A(x)\}^2 = A \left ( x^n \right ) + \left ( nx^{n-1} -1 \right ) A(0)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 임의의 실수 $x,\;y$ 에 대하여 $A(x)A(y)=A( (가) )+(나)A(0) \;\;\; \cdots \;\;\; ㉠$ (i) $n=2$ 일 때, ㉠에 의하여 $\{ A(x) \}^2 = A \left ( x^2 \right ) +(2x-1) A(0)$ 이 성..

$a_1 =1,\;\;a_2 = 2,\;\;a_3 =3$ 이고 모든 자연수 $n$ 에 대하여$a_{4n+k} =a_n +k\;\;\;(k=0,\;1,\;2,\;3)$ 로 정의되는 수열 $\{a_n \}$ 이 있다. 이때 $a_{2009}$ 의 값을 구하시오. 정답 11

임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 개의 자연수 $a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n$ 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이라 한다. 예를 들어, ${\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12) = 3+1+9+3=16$ 이다. ${\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )$ 이 다음과 같은 성질을 만족한다. (가) 자연수 $a$ 에 대하여 ${\rm P} (2a) = {\rm P} (a)$ 이다. (나) 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b,..

6개의 양수 $a,\; b,\; c,\; x,\; u,\; z$ 에 대하여 \(a

$x^{2006} =1$ 의 $1$ 이외의 근을 $\alpha _1 ,\; \alpha _2 , \; \cdots , \; \alpha _{2005}$ 라고 할 때, $(2+\alpha_1 ) (2+\alpha_2 )(2+\alpha _3 ) \cdots (2+\alpha_{2005} )$ 의 값을 $2^{2006} = A$ 를 이용하여 나타내면? ① $A-1$ ② $A+1$ ③ $2A$ ④ $\dfrac{1-A}{3}$ ⑤ $\dfrac{A-1}{3}$ 정답 ⑤

아래 표와 같이 수를 써나갈 때, $m$ 번째 행의 $n$ 번째 열에 있는 수를 $f(m,\;n)$ 이라고 하자. 이 때, 집합 $\left \{ (m,\;n) \;\vert \;f(m, \;n) =81 \right \}$ 의 원소의 갯수를 구하여라. 정답 10개

그림과 같이 넓이가 $1$ 인 정삼각형 $A_0$ 에서 시작하여 도형 $A_1 , \; A_2 , \; \cdots$ 를 만든다. 여기서 $A_n$ 은 $A_{n-1}$ 의 각 변의 $3$ 등분점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 $A_{n-1}$ 의 바깥쪽에 덧붙인 도형이다. (1) 도형 $A_n$ 의 변의 개수를 구하시오. (2) 도형 $A_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라고 할 때, $S_n$ 을 구하시오. 정답 (풀이 참조)

다음 식의 값을 구하시오.$\sum \limits _{n=0}^{50} (-1)^{n+1} \cdot \tan { \frac{n}{3}} \pi$ 정답 $2\sqrt{3}$

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 분모는 $2^n$ 꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수로 이루어진 수열 $\frac {1}{2^2} , \;\; \frac {3}{2^2} , \;\; \frac {1}{2^3} , \;\; \frac {3}{2^3} , \;\; \frac {5}{2^3} , \;\; \frac {7}{2^3} , \;\; \frac {1}{2^4} , \;\; \frac {3}{2^4} , \;\; \cdots$ 에서 제 $126$ 항과 첫째항부터 제 $126$ 항까지의 합을 구하여라. 정답 ${\Large \frac{127}{128}},\; 63$