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목록(8차) 수학1 질문과 답변/수열 (256)
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\(\left (1+2x+3x^2 +4x^3 + \cdots +11x^{10} \right )^2 \) 의 전개식에서 \(x^{10}\) 의 계수를 구하시오. 정답 286
모든 실수 \(x\) 에 대하여 행렬 \(A(x)\) 를 \(A(x) = \left ( \matrix {x-1 & 1 \\ -1 & x+1} \right )\) 이라 하자. 다음은 \(n \ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\{A(x)\}^2 = A \left ( x^n \right ) + \left ( nx^{n-1} -1 \right ) A(0) \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 임의의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \(A(x)A(y)=A( (가) )+(나)A(0) \;\;\; \cdots \;\;\; ㉠ \) (i) \(n=2\) 일 때, ㉠에 의하여 \( \{ A(x) \}^2 = A \left ( x^2 \right ) +(2x-1) A(0) \) 이 성..
\(a_1 =1,\;\;a_2 = 2,\;\;a_3 =3\) 이고 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[a_{4n+k} =a_n +k\;\;\;(k=0,\;1,\;2,\;3)\] 로 정의되는 수열 \(\{a_n \}\) 이 있다. 이때 \(a_{2009}\) 의 값을 구하시오. 정답 11
임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 개의 자연수 \(a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n \) 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이라 한다. 예를 들어, \({\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12) = 3+1+9+3=16\) 이다. \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이 다음과 같은 성질을 만족한다. (가) 자연수 \(a\) 에 대하여 \({\rm P} (2a) = {\rm P} (a) \) 이다. (나) 자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b,..
6개의 양수 \(a,\; b,\; c,\; x,\; u,\; z\) 에 대하여 \(a
\(x^{2006} =1\) 의 \(1\) 이외의 근을 \(\alpha _1 ,\; \alpha _2 , \; \cdots , \; \alpha _{2005}\) 라고 할 때, \[(2+\alpha_1 ) (2+\alpha_2 )(2+\alpha _3 ) \cdots (2+\alpha_{2005} ) \] 의 값을 \(2^{2006} = A\) 를 이용하여 나타내면? ① \(A-1\) ② \(A+1\) ③ \(2A\) ④ \(\dfrac{1-A}{3}\) ⑤ \(\dfrac{A-1}{3}\) 정답 ⑤
아래 표와 같이 수를 써나갈 때, \(m\) 번째 행의 \(n\) 번째 열에 있는 수를 \(f(m,\;n)\) 이라고 하자. 이 때, 집합 \( \left \{ (m,\;n) \;\vert \;f(m, \;n) =81 \right \} \) 의 원소의 갯수를 구하여라. 정답 10개
그림과 같이 넓이가 \(1\) 인 정삼각형 \(A_0\) 에서 시작하여 도형 \(A_1 , \; A_2 , \; \cdots\) 를 만든다. 여기서 \(A_n\) 은 \(A_{n-1}\) 의 각 변의 \(3\) 등분점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 \(A_{n-1}\) 의 바깥쪽에 덧붙인 도형이다. (1) 도형 \(A_n\) 의 변의 개수를 구하시오. (2) 도형 \(A_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라고 할 때, \(S_n\) 을 구하시오. 정답 (풀이 참조)
다음 식의 값을 구하시오.\[ \sum \limits _{n=0}^{50} (-1)^{n+1} \cdot \tan { \frac{n}{3}} \pi \] 정답 \(2\sqrt{3}\)
\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 분모는 \(2^n\) 꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수로 이루어진 수열 \[\frac {1}{2^2} , \;\; \frac {3}{2^2} , \;\; \frac {1}{2^3} , \;\; \frac {3}{2^3} , \;\; \frac {5}{2^3} , \;\; \frac {7}{2^3} , \;\; \frac {1}{2^4} , \;\; \frac {3}{2^4} , \;\; \cdots\] 에서 제 \(126\) 항과 첫째항부터 제 \(126\) 항까지의 합을 구하여라. 정답 \({\Large \frac{127}{128}},\; 63\)