수악중독

수열 $\left \{ a_n \right \}$ 은 각 항과 공차가 $0$ 이 아닌 등차수열이다. $k$ 의 값에 관계없이 다음 이차방정식을 모두 만족하는 근을 $\alpha$ 라고 할 때, $\alpha$ 가 속하는 집합은? $a_k x^2 + 2 a_{k+1} x + a_{k+2} = 0$ (단, $k=1,\;2,\;\cdots\;$ ) ① \(\left \{ x \; \vert \; x^2 -4x-5

그림과 같은 직사각형 $\rm ABCD$의 꼭짓점 $\rm D$에서 대각선 $\rm AC$에 내린 수선의 발을 $\rm E$, 직선 $\rm DE$와 변 $\rm BC$의 교점을 $\rm F$라 하자. $\angle \rm AEB = 45^o ,\;\; \overline {\rm AF} = 2$ 이고 $\overline {\rm FC},\; \overline {\rm CD},\; \overline {\rm AD}$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 직사각형 $\rm ABCD$의 넓이는? (단, $\overline {\rm AD} > \overline {\rm AB}$) ① $1+\sqrt{2}$ ② $1+\sqrt{3}$ ③ $1+\sqrt{5}$ ④ ..

$4$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 한 변의 길이가 $1$인 정 $n$각형의 한 꼭짓점에서 $(n-3)$개의 대각선을 그려 나누어지는 $(n-2)$개의 삼각형의 넓이를 원소로 하는 집합이 있다. 이 집합의 원소의 개수를 $a_n$이라 할 때, 다음 그림은 $a_5 =2,\; a_6 =2$임을 나타내는 것인다. 임의의 자연수 $k$가 $a_{10k} + a_{20k+1} = pk+q$ 를 만족시킬 때, 상수 $p,\; q$ 에 대하여 $p+q$ 의 값은? ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$ 정답 ⑤

수열 $\left \{ a_n \right \}$ 이 $a_1 = {\dfrac {2^2 +1}{2^2 -1}},\;\;\;a_2 = {\dfrac{3^2+1}{3^2-1}},\;\;\;a_3 = {\dfrac{4^2+1}{4^2-1}},\;\;\;a_4 = {\dfrac{5^2+1}{5^2-1}},\;\;\;\cdots$ 일 때, $\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k} - \left[ {\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k}} } \right]}$ 의 값은? (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① $\dfrac{43}{132}$ ② $\dfrac{41}{132}$ ③ $\dfrac{13}{44}$ ④ \(..

행렬 $A$ 가 \(A \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ) = 3 \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ), \;\; A \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) = 5 \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) \) 을 만족할 때, $A^n$ 의 모든 성분의 합은? (단, $n$ 은 자연수이다.) ① $5^n -3^n$ ② $3^n$ ③ $5^n$ ④ $2 \cdot 3^n$ ⑤ $2 \cdot 5^n$ 정답 ⑤

연속하는 $2n+1$ 개의 자연수 $a_1 ,\;a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_{2n+1}$ 에 대하여 $a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_{n+1} ^2 = a_{n+2} ^2 + a_{n+3} ^2 + \cdots + a_{2n+1} ^2$ 이 성립하는 수열이 존재한다. 예를 들어, 연속하는 $5$개의 자연수 $10,\; 11,\; 12,\; 13,\; 14$ 에 대하여 $10^2 +11^2 +12^2 = 13^2 +14^2$ 이 성립한다. 위 식이 성립하는 연속하는 $15$ 개의 자연수로 이루어진 수열에서 첫째항은? ① $105$ ② $107$ ③ $109$ ④ $111$ ⑤ $113$ 정답 ①

규리는 장난감 블록을 이용하여 다음 그림과 같은 형태의 집모양을 1층 집부터 차례로 만들려고 한다. 두 가지의 서로 다른 색깔의 블록이 각각 500개씩 일 때, 규리는 1층 집부터 $k$ 층 집까지 완성할 수 있고, 이 때 서로 다른 색깔의 블록이 각각 $m$ 개, $n$ 개 남는다고 한다. $k+m+n$ 의 값을 구하시오. 정답 240

자연수 $n$ 에 대하여 네 부등식 $x>0,\;\;y>0,\;\;y\le x^2 ,\;\; y\le -x+n$ 을 모두 만족하는 영역 안에 있는 점 중에서 $x,\;y$ 의 좌표가 모두 정수인 순서쌍 $(x,\;y)$ 의 개수를 $I_n$ 이라 하자. 이 때, $I_{90} +I_{99}$ 의 값은? ① $7815$ ② $7817$ ③ $7819$ ④ $7821$ ⑤ $7823$ 정답 ①

네 점 $(2n,\;0),\;\;(2n+1,\;0),\;\;(2n+1,\;1),\;\;(2n,\;1)$ 을 꼭짓점으로 갖는 정사각형을 $D_n$ 이라 한다. 다음 그림의 어두운 부분과 같이 원점과 $(2n,\;1)$ 을 연결한 선분의 아래에 있는 정사각형 $D_0 ,\;\;D_1 ,\;\; \cdots ,\;\; D_{n-1}$ 의 어두운 부분의 넓이의 합은? (단, $n=0,\;1,\;2,\; \cdots$ 이다.) ① ${\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{4}}$ ② ${\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{2}}$ ③ ${\dfrac{n}{3}}$ ④ ${\dfrac{n-1}{2}} - {\dfrac{1}{4}}$ ⑤ \( {\d..

정답 29