수악중독

그림과 같은 $\angle {\rm B} = 90^o ,\;\; \angle {\rm C} = 10^o$ 인 직각삼각형 모양의 실험도구가 있다. $\rm B$ 에서 발사된 빛이 변 $\rm AC$ 와 변 $\rm BC$ 사이에서 여러 번 반사되어 변 $\rm AC$ 또는 변 $\rm BC$ 에 수직으로 도달하면 다시 $\rm B$ 로 되돌아온다고 한다. $\rm B$ 에서 각 $\theta$ 의 크기로 발사된 빛이 최대한 많은 횟수로 반사되어 $\rm B$ 로 되돌아올 때, 각 $\theta$ 의 크기를 $\dfrac{\pi}{a}$ 라 하자. 이 때, $a$ 의 값을 구하시오. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) 정답 18

올해 말부터 매년 말에 일정 금액을 12년간 받는 연금이 있다. 이 연금을 올해 초에 모두 받는다면 2500만 원을 받을 수 있다. 갑은 이 연금을 5년 동안은 그냥 받다가 6년째 초에 남은 연금을 모두 받고자 한다. 6년째 초에 약 얼마의 연금을 받을 수 있겠는가?? ( 단 연이율 6%의 복리이고, 1.06^12=2, 1.06^7=1.5 이다) 정답 $\Large \frac{5000}{3}$

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)${ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1$, (우변)$=2^0 =1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

$n\ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여$\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=2$ 일 때, ${\dfrac{3}{8}} > (가)$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) $n=k\;\;(k\ge 2)$ 일 때, \[\left( {1..

자연수 $t$ 에 대하여 ${H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{i}}$ 이라 할 때, 다음은 부등식 $H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=0$ 일 때, (좌변)$= H_{2^0} = H_1 = (가)$ (우변) $=1+{\dfrac{0}{2}} = 1$ 그러므로 ㉠이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}$ 가 성립한다고 가정하면 \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{..

다음은 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이면 $a_n = (가)$ 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이므로 $a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3}$ \(= \left ( \sum \li..

수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1 =1,\;\; a_n + a_{n+1} = (-1)^n \log {\dfrac{n+1}{n}} \;\; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots)$ 로 정의될 때, $a_{100}$ 의 값은? ① $-3$ ② $-2$ ③ $-2+\log 2$ ④ $-\log 3$ ⑤ $-\log 2$ 정답 ①

$10\%$ 의 소금물 $100 \rm g$ 이 들어 있는 용기 $A$와 $5\%$ 의 소금물이 충분히 들어 있는 용기 $B$ 가 있다. $A$ 용기에서 소금물 $20\rm g$ 을 퍼내고, $B$ 용기에서 소금물 $20 \rm g$ 을 퍼내어 $A$ 용기에 넣는 시행을 $n$ 번 반복했을 때의 $A$ 용기에 들어 있는 소금물 의 농도를 $a_n \%$ 라고 하자. $a_n = p \left ( {\dfrac{4}{5}} \right )^{n-1} +q$ 를 만족하는 상수 $p,\;q$ 의 곱 $pq$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이다.) 정답 20 [수능 수학/수능수학] - 점화식 정리

상호와 영수는 같은 은행에서 연이율 $r$ 의 복리로 $2000$ 년 초에 각각 $2000$ 만 원을 대출받았다. 상호는 $2001$ 년 초부터 매년 초에 $a$ 만 원씩 갚아서 $2010$ 년 초까지 $10$ 년에 걸쳐서 대출금을 모두 상환하기로 하였고, 영수는 $2001$ 년 말부터 매년 말에 $b$ 만 원씩 갚아서 $2010$ 년 말까지 $10$ 년에 걸쳐 대출금을 모두 상환하기로 하였다. 이때, $\dfrac{b}{a}$ 를 $r$ 에 대한 식으로 나타내면? ① $1-r$ ② $\dfrac{1}{1+r}$ ③ $r$ ④ $1+r$ ⑤ $1+2r+r^2$ 정답 ④

서로 다른 자연수 $a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n$ 에 대하여 $a_{1}^{2} +a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdots + a_{n}^{2} = 2340$ 을 만족시키는 $n$ 의 최댓값을 찾는 과정이다. $\sum \limits _{k=1}{m} k^2 >2340$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 의 최솟값은 (가)이다. 따라서 $a_{1}^{2} +a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdots + a_{n}^{2} = 2340$ 을 만족시키는 $n$ 의 최댓값은 (가) 보다 작거나 같다. 한편, \(\sum \limits _{k=1}^{20} k^2 - \left (19^2 + (나) \right ) = 23..