관리 메뉴


수악중독

수학1_수학적 귀납법과 순서도_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_수학적 귀납법과 순서도_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

수악중독 2010. 4. 8. 09:40
모든 실수 xx 에 대하여 행렬 A(x)A(x) 를 \(A(x) = \left ( \matrix {x-1 & 1 \\ -1 & x+1} \right )\) 이라 하자. 다음은 n2n \ge 2 인 모든 자연수 nn 에 대하여 {A(x)}2=A(xn)+(nxn11)A(0)\{A(x)\}^2 = A \left ( x^n \right ) + \left ( nx^{n-1} -1 \right ) A(0) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
 

임의의 실수 x,  yx,\;y 에 대하여 
   A(x)A(y)=A(())+()A(0)            ㉠ A(x)A(y)=A( (가) )+(나)A(0) \;\;\; \cdots \;\;\; ㉠ 
(i) n=2n=2 일 때, ㉠에 의하여
   {A(x)}2=A(x2)+(2x1)A(0) \{ A(x) \}^2 = A \left ( x^2 \right ) +(2x-1) A(0) 이 성립한다.
(ii) n=kn=k 일 때, 성립한다고 가정하면
   {A(x)}k=A(xk)+(kxk11)A(0)\{A(x) \}^k = A \left ( x^k \right ) + \left (kx^{k-1} -1 \right ) A(0) 이다.
   n=k+1n=k+1 일 때, 성립함을 보이자.
   {A(x)}k+1=A(x){A(x)}k\{ A(x) \}^{k+1} = A(x) \{ A(x) \}^k  
   =A(x)A(xk)+(kxk11)A(x)A(0)= A(x)A\left ( x^k \right ) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) A(x) A(0)
   =A(xk+1)+(xk+x1)A(0)+(kxk11)(())= A \left (x^{k+1} \right ) + \left ( x^k +x-1 \right ) A(0) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) ((다)) 
   =A(xk+1)+{(k+1)xk1}A(0)=A \left (x^{k+1} \right ) + \left \{ (k+1) x^k -1 \right \} A(0)
   그러므로 n=k+1n=k+1 일 때도 성립한다.
따라서 n2n \ge 2 인 모든 자연수 nn 에 대하여 주어진 등식은 성립한다. 


이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?
 

   (가) (나)  (다) 
xyxy x+y1x+y-1 A(0)A(0)
xyxy x+y1x+y-1 xA(0)xA(0)
xyxy xy+1x-y+1 A(0)A(0)
x+yx+y x+y1x+y-1 xA(0)xA(0)
x+yx+y xy+1x-y+1 A(0)A(0)



Comments