수학1_수학적 귀납법과 순서도_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

모든 실수 $x$ 에 대하여 행렬 $A(x)$ 를 \(A(x) = \left ( \matrix {x-1 & 1 \\ -1 & x+1} \right )\) 이라 하자. 다음은 $n \ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\{A(x)\}^2 = A \left ( x^n \right ) + \left ( nx^{n-1} -1 \right ) A(0)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
 

임의의 실수 $x,\;y$ 에 대하여 
   $A(x)A(y)=A( (가) )+(나)A(0) \;\;\; \cdots \;\;\; ㉠$
(i) $n=2$ 일 때, ㉠에 의하여
   $\{ A(x) \}^2 = A \left ( x^2 \right ) +(2x-1) A(0)$ 이 성립한다.
(ii) $n=k$ 일 때, 성립한다고 가정하면
   $\{A(x) \}^k = A \left ( x^k \right ) + \left (kx^{k-1} -1 \right ) A(0)$ 이다.
   $n=k+1$ 일 때, 성립함을 보이자.
   $\{ A(x) \}^{k+1} = A(x) \{ A(x) \}^k$ 
   $= A(x)A\left ( x^k \right ) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) A(x) A(0)$
   $= A \left (x^{k+1} \right ) + \left ( x^k +x-1 \right ) A(0) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) ((다))$ 
   $=A \left (x^{k+1} \right ) + \left \{ (k+1) x^k -1 \right \} A(0)$
   그러므로 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.
따라서 $n \ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다. 

이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?
 

	(가)	(나)	(다)
①	$xy$	$x+y-1$	$A(0)$
②	$xy$	$x+y-1$	$xA(0)$
③	$xy$	$x-y+1$	$A(0)$
④	$x+y$	$x+y-1$	$xA(0)$
⑤	$x+y$	$x-y+1$	$A(0)$

정답 ②