수학1_수학적 귀납법과 순서도_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

모든 실수 \(x\) 에 대하여 행렬 \(A(x)\) 를 \(A(x) = \left ( \matrix {x-1 & 1 \\ -1 & x+1} \right )\) 이라 하자. 다음은 \(n \ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\{A(x)\}^2 = A \left ( x^n \right ) + \left ( nx^{n-1} -1 \right ) A(0) \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
 

임의의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 
   \(A(x)A(y)=A( (가) )+(나)A(0) \;\;\; \cdots \;\;\; ㉠ \)
(i) \(n=2\) 일 때, ㉠에 의하여
   \( \{ A(x) \}^2 = A \left ( x^2 \right ) +(2x-1) A(0) \) 이 성립한다.
(ii) \(n=k\) 일 때, 성립한다고 가정하면
   \(\{A(x) \}^k = A \left ( x^k \right ) + \left (kx^{k-1} -1 \right ) A(0) \) 이다.
   \(n=k+1\) 일 때, 성립함을 보이자.
   \(\{ A(x) \}^{k+1} = A(x) \{ A(x) \}^k \) 
   \(= A(x)A\left ( x^k \right ) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) A(x) A(0)\)
   \(= A \left (x^{k+1} \right ) + \left ( x^k +x-1 \right ) A(0) + \left ( kx^{k-1} -1 \right ) ((다))\) 
   \(=A \left (x^{k+1} \right ) + \left \{ (k+1) x^k -1 \right \} A(0)\)
   그러므로 \(n=k+1\) 일 때도 성립한다.
따라서 \(n \ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식은 성립한다. 

이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?
 

	(가)	(나)	(다)
①	\[xy\]	\[x+y-1\]	\[A(0)\]
②	\[xy\]	\[x+y-1\]	\[xA(0)\]
③	\[xy\]	\[x-y+1\]	\[A(0)\]
④	\[x+y\]	\[x+y-1\]	\[xA(0)\]
⑤	\[x+y\]	\[x-y+1\]	\[A(0)\]

정답 ②