수악중독

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고, 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 \(2\) 인 점 \(\rm A\) 에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{6}\) 로 일정하다. 원의 중심 \(\rm O\) 에서 두 직선까지의 거리를 각각 \(l,\;m\) 이라 할 때, \(2l^2+m^2\) 의 최솟값은 \(p+q\sqrt{7}\) 이다. \(30(p+q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 유리수이다.) 정답 \(120\)

함수 \(f(x)=\dfrac{\ln x^2}{x}\) 의 극댓값을 \(\alpha\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)-\dfrac{\alpha}{n}x=0\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10}a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(34\)

\(x>0\) 일 때, 함수 \(f(x)=e^{-x}\cos x\) 가 극댓값을 갖는 \(x\) 의 값을 작은 것부터 차례대로 \(x_1 ,\; x_2,\; x_3,\; \cdots,\; x_n,\; \cdots\) 이라 하자. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} f(x_n)\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{4}}}{e^{2 \pi}-1}\) ② \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}}{e^{2 \pi}-1}\) ③ \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{3}{4}\pi}..

두 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1},\;\; g(x)=ax\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\) 는 실수이다.) ㄱ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만날 때의 \(a\) 값의 범위는 \(a3\sqrt{3}\) 이다. ㄴ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때의 \(a\)의 값은 \(-3\sqrt{3}\) 또는 \(3\sqrt{3}\) 이다. ㄷ. 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\) 의 그래프가 한 점에서 만날 때의 \(a\) 의 값의 범위는 \(-3\sqrt{3}

함수 \(f(x)=\dfrac{x-\frac{1}{2}}{\left ( x^2 -2x+2 \right )^2 } \) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\left ( 1,\; \dfrac{1}{2} \right )\) 에서의 접선과 원점 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) 이다. ㄴ. 함수 \(f(x)\) 의 최솟값은 \(-\dfrac{1}{8}\) 이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)-f(10)=0\) 의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

모든 실수 \(x\) 에서 \(f(x)>0\) 이고 미분가능한 함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)g'(x)

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=1\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 \(\angle {\rm BAC}= \theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_1\), 점 \(\rm C\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_2\) 라 할 때, \(C_1, \;C_2\) 각각에서 두 원이 겹치는 부분을 제외하여 얻어지는 두 부분의 넓이의 합을 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}=\al..

곡선 \(y=e^x\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}\left ( t, \; t^2 \right )\) 와 세 점 \({\rm A} (0, \;e), \;{\rm B}(0, \;1),\; {\rm C}(1, \;1)\) 이 있다. \(\triangle {\rm PAB}, \; \triangle {\rm PBC}\) 의 넓이를 각각 \(S_1 ,\; S_2\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(e-2\) ② \(e-1\) ③ \(2e-3\) ④ \(2(e-2)\) ⑤ \(2e-1\) 정답 ②

두 상수 \(a,\;b\) 에 대하여 함수 \[f(x)=a \sin x + bx+1\] 이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ① \(a>b\) ② \(a b^2\) ④ \(a^2

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 다음 표는 \(x\) 의 값에 따른 \(f(x),\; f'(x),\;f''(x)\) 의 변화 중 일부를 나타낸 것이다. \(x\) \(x