수악중독

네 미지수 $x,\;y,\;s,\;t$ 에 대하여 \[ \left ( \matrix { 4 & a \cr -6 & -3 } \right ) \left ( \matrix {x \cr y} \right ) = \left ( \matrix { 5 \cr b} \right ),\;\; \left ( \matrix{1 & -2 \cr a & 2 }\right ) \left ( \matrix {s \cr t} \right ) = \left ( \matrix { x \cr y } \right ) \] 인 관계가 성립한다. 첫 연립방정식을 만족하는 $(x,\;y)$ 의 해는 오직 한 쌍이고, 두 연립방정식을 동시에 만족하는 해 $x,\;y,\;s,\;t$ 는 무수히 많이 존재할 때, 두 상수 \(a,\;b\..

포물선 $y=x^2$ 위에 세 점 ${\rm O}(0,\;0),\;{\rm A} \left ( a, \; a^2 \right ), \; {\rm B} \left ( b,\; b^2 \right )$ 이 있고, $\angle \rm AOB$ 는 직각이다. 이 포물선 위의 두 점 $\rm A,\;B$ 에서 각각 그은 접선의 교점을 $\rm P$ 라 하자. $\triangle \rm OAB$ 의 넓이를 $S$, $\triangle \rm PAB$ 의 넓이를 $T$ 라 할 때, ${\Large \frac {S}{T}}$ 의 최댓값은? (단, $a>0)$ ① $\Large \frac {1}{5}$ ② $\Large \frac {1}{4}$ ③ \(\Large \f..

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)${ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1$, (우변)$=2^0 =1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

$n\ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여$\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=2$ 일 때, ${\dfrac{3}{8}} > (가)$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) $n=k\;\;(k\ge 2)$ 일 때, \[\left( {1..

자연수 $t$ 에 대하여 ${H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{i}}$ 이라 할 때, 다음은 부등식 $H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=0$ 일 때, (좌변)$= H_{2^0} = H_1 = (가)$ (우변) $=1+{\dfrac{0}{2}} = 1$ 그러므로 ㉠이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}$ 가 성립한다고 가정하면 \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{..

다음은 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이면 $a_n = (가)$ 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이므로 $a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3}$ \(= \left ( \sum \li..

수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1 =1,\;\; a_n + a_{n+1} = (-1)^n \log {\dfrac{n+1}{n}} \;\; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots)$ 로 정의될 때, $a_{100}$ 의 값은? ① $-3$ ② $-2$ ③ $-2+\log 2$ ④ $-\log 3$ ⑤ $-\log 2$ 정답 ①

$10\%$ 의 소금물 $100 \rm g$ 이 들어 있는 용기 $A$와 $5\%$ 의 소금물이 충분히 들어 있는 용기 $B$ 가 있다. $A$ 용기에서 소금물 $20\rm g$ 을 퍼내고, $B$ 용기에서 소금물 $20 \rm g$ 을 퍼내어 $A$ 용기에 넣는 시행을 $n$ 번 반복했을 때의 $A$ 용기에 들어 있는 소금물 의 농도를 $a_n \%$ 라고 하자. $a_n = p \left ( {\dfrac{4}{5}} \right )^{n-1} +q$ 를 만족하는 상수 $p,\;q$ 의 곱 $pq$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이다.) 정답 20 [수능 수학/수능수학] - 점화식 정리

다음과 같은 방법으로 $z_n$ 과 $C_n$ 을 정의한다. (가) 자연수 $n$ 에 대하여 $x,\;y$ 두 개의 문자로 이루어진 문자열 $z_n$ 을 다음과 같이 정의한다. $z_1 = x$ $z_{n+1}$ 은 $z_n$ 에 있는 문자 $x$ 는 $yx$ 로, $y$ 는 $xx$ 로 변환하여 얻는다. 예를 들면, $z_1 = x$ 이므로 $z_2 = yx,\; z_3 = xxyx$ 이다. (나) 두 이차정사각행렬 $A,\;B$ 에 대하여 $C_n$ 은 (가)의 $z_n$ 에서 $x$ 는 $A$ 로, $y$ 는 $B$ 로 바꾼 행렬의 곱으로 정의한다. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(z_4 = ..

다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다. 각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 $p$ 의 확률로 $1$ 개, $1-p$ 의 확률로 $2$ 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다. 예를 들면, 다음은 $1$ 개체가 제 $0$ 단계에서 시작하여 제 $4$ 단계에 바이러스가 $4$ 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다. 지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 $1$ 개체가 제 $0$ 단계에서 시작하여 제 $n$ 단계에 $m$ 개의 개체일 확률을 ${\rm P}_n (m)$ 이라고 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}$ 의 값은? (단, \(0