수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

\(n\ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1) \(n=2\) 일 때, \({\dfrac{3}{8}} > (가) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다.
(2) \(n=k\;\;(k\ge 2)\) 일 때, \[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^k}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^k}}}} \right)\]      이라 가정하면

     \(\left( {1 - {\Large \frac{1}{2}}} \right)\left( {1 - {\dfrac{1}{4}}} \right) \cdots \left( {1 - {\Large \frac{1}{{{2^k}}}}} \right) \times (나) \)

     \( > 1 - (다) - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\Large \frac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right) + {\dfrac{2}{{{2^{k + 1}}}}} \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right)\)
  
     \( > 1 - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}}} \right)\)
 
따라서 \(n=k+1\) 일 때에도 주어진 부등식은 성립한다. 그러므로 (1), (2)에 의하여 \(n \ge 2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다. 

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[① \]	\[\frac{1}{4}\]	\[1-\frac{1}{2^{k+1}}\]	\[\frac{1}{2^{k+1}}\]
\[②\]	\[\frac{1}{4}\]	\[1-\frac{1}{2^{k+1}}\]	\[\frac{1}{2^{k}}\]
\[③\]	\[\frac{1}{4}\]	\[1-\frac{1}{2^{k}}\]	\[\frac{1}{2^{k}}\]
\[④\]	\[\frac{1}{8}\]	\[1-\frac{1}{2^{k+1}}\]	\[\frac{1}{2^{k+1}}\]
\[⑤\]	\[\frac{1}{8}\]	\[1-\frac{1}{2^{k}}\]	\[\frac{1}{2^{k}}\]

정답 ①