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수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

수악중독 2009. 11. 4. 01:45
n2n\ge 2 인 모든 자연수 nn 에 대하여(112)(114)(118)(112n)>1(12+14+18+  +12n)\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^n}}}} \right) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1) n=2n=2 일 때, 38>(){\dfrac{3}{8}} > (가) 이므로 주어진 부등식은 성립한다.
(2) n=k    (k2)n=k\;\;(k\ge 2) 일 때, (112)(114)(112k)>1(12+14+  +12k)\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^k}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^k}}}} \right)      이라 가정하면

     (112)(114)(112k)×()\left( {1 - {\Large \frac{1}{2}}} \right)\left( {1 - {\dfrac{1}{4}}} \right) \cdots \left( {1 - {\Large \frac{1}{{{2^k}}}}} \right) \times (나)

     >1()(12+14+  +12k)+22k+1(12+14+  +12k) > 1 - (다) - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\Large \frac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right) + {\dfrac{2}{{{2^{k + 1}}}}} \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right)
  
     >1(12+14+  +12k+1) > 1 - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}}} \right)
 
따라서 n=k+1n=k+1 일 때에도 주어진 부등식은 성립한다. 그러므로 (1), (2)에 의하여 n2n \ge 2 이상인 자연수 nn 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다. 


위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

  ()(가) ()(나) ()(다)
14\frac{1}{4} 112k+11-\frac{1}{2^{k+1}} 12k+1\frac{1}{2^{k+1}}
14\frac{1}{4} 112k+11-\frac{1}{2^{k+1}} 12k\frac{1}{2^{k}}
14\frac{1}{4} 112k1-\frac{1}{2^{k}} 12k\frac{1}{2^{k}}
18\frac{1}{8} 112k+11-\frac{1}{2^{k+1}} 12k+1\frac{1}{2^{k+1}}
18\frac{1}{8} 112k1-\frac{1}{2^{k}} 12k\frac{1}{2^{k}}