수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

$n\ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여$\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1) $n=2$ 일 때, ${\dfrac{3}{8}} > (가)$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다.
(2) $n=k\;\;(k\ge 2)$ 일 때, $\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^k}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +  \cdots  + \frac{1}{{{2^k}}}} \right)$      이라 가정하면

     $\left( {1 - {\Large \frac{1}{2}}} \right)\left( {1 - {\dfrac{1}{4}}} \right) \cdots \left( {1 - {\Large \frac{1}{{{2^k}}}}} \right) \times (나)$

     $> 1 - (다) - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\Large \frac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right) + {\dfrac{2}{{{2^{k + 1}}}}} \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^k}}}}} \right)$
  
     $> 1 - \left( {{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{4}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}}} \right)$
 
따라서 $n=k+1$ 일 때에도 주어진 부등식은 성립한다. 그러므로 (1), (2)에 의하여 $n \ge 2$ 이상인 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다. 

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
$①$	$\frac{1}{4}$	$1-\frac{1}{2^{k+1}}$	$\frac{1}{2^{k+1}}$
$②$	$\frac{1}{4}$	$1-\frac{1}{2^{k+1}}$	$\frac{1}{2^{k}}$
$③$	$\frac{1}{4}$	$1-\frac{1}{2^{k}}$	$\frac{1}{2^{k}}$
$④$	$\frac{1}{8}$	$1-\frac{1}{2^{k+1}}$	$\frac{1}{2^{k+1}}$
$⑤$	$\frac{1}{8}$	$1-\frac{1}{2^{k}}$	$\frac{1}{2^{k}}$

정답 ①