수악중독

두 숫자 $1,\;2$ 중 어느 한 숫자를 $5$ 번, 다른 숫자를 $3$ 번 사용하여 $8$ 자리 비밀번호를 만드는데, $21111212,\;\; 12221111,\;\;22221121$ 등과 같이 $5$ 번 사용하는 숫자는 네 개가 연속하여 나오고, 다섯 개는 연속하여 나올 수 없다. 이와 같이 만들어지는 비밀번호의 개수는? ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 정답 ⑤

그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 각각 $1,\;2,\;3,\;4,\;5$ 인 다섯 개의 원이 있다. 이 다섯 개의 원을 경계로 하여 안에서부터 다섯 개의 영역 $A,\;B,\;C,\;D,\;E$ 로 나누고, 서로 다른 $3$ 가지 색의 물감을 칠하여 색칠된 문양을 만들려고 한다. 각 영역은 $1$ 가지 색으로만 칠하고, 이웃한 영역은 서로 다른 색을 칠한다. $3$ 가지 색의 물감은 각각 $10$ 통 이하만 사용할 수 있고 물감 $1$ 통으로는 영역 $A$ 의 넓이 만큼만 칠할 수 있을 때, 만들 수 있는 서로 다르게 색칠된 문양의 개수는? ① $9$ ② $12$ ③ $15$ ④ $18$ ⑤ $21$ 정답 ②

$50$ 이하의 자연수 $n$ 중에서 $\sum \limits _{k=1}^{n} {_n {\rm C} _k}$ 의 값이 $3$ 의 배수가 되도록 하는 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 25

다음은 $n$ 이 $2$ 이상의 자연수일 때 $\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right )^2$ 의 값을 구하는 과정이다. 두 다항식의 곱 $\left ( a_0 +a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right ) \left ( b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n \right )$ 에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 $a_0 b_{n-1} +a_1 b_{n-2} + \cdots + a_{n-1} b_0\;\;\;\cdots \cdots (*)$ 이다. 등식 $(1+x)^{2n-1} = (1+x)^{n-1} (1+x)^n$ 의 좌변에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 ( 가 )이..

함수 $f(x) = {\rm sin} \dfrac{x^2 + x }{2}$ 에 대한 보기의 설명 중에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. $0 < x < 1$ 일 때, $\dfrac{1}{2} {\rm sin} x \leq f(x) \leq {\rm sin} x$ 이다. ㄴ. 구간 $(0,\;1)$에서 곡선 $y=f(x)$ 는 위로 볼록이다. ㄷ. $\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1-{\rm cos}1} \displaystyle\int_0^1 {f(x){\rm{d}}x \le 1}$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 제 $1$ 사분면 위의 점 ${\rm A}(8,\;1)$ 을 지나는 직선이 $x$ 축 및 $y$ 축의 양의 부분과 각각 점 $\rm P,\;Q$ 에서 만난고, $\angle \rm OPQ = \theta$ 라고 할 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이의 최솟값은 $l$ 이다. 이 때, $l^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 125

함수 $f(x)$는 다음 두 조건을 만족한다. (가) $f(0)=0,\; f(1)=1,\;f~'(0)={\Large \frac{1}{3}},\;f~'(1)=2$ (나) 구간 $(0,\;1)$에서 $f~'(x)>0,\;f~''(x)>0$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하고, $g(x)$ 의 이계도함수가 존재할 때, 정적분 $\int_0^1 {\left| {{{g''\left( {g\left( x \right)} \right)} \over {f~'\left( {g\left( x \right)} \right)}}} \right|} \;dx$ 의 값을 구하시오. 정답 2.5

함수 $f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)$ 과 직선 $x=n-1,\; x=n$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 도형을 $x$ 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 $V_n$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}$ 의 값은? (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수) ① $\dfrac{\pi}{2}$ ② $\pi$ ③ $\dfrac{3\pi}{2}$ ④ $2\pi$ ⑤ $\dfrac{5\pi}{2}$ 정답 ①

구간 $0 \le x \le 1$ 에서 정의된 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 그림과 같고, \(f\; ' (x)>0\;\; \left ( 0

연속된 세 자연수를 세 변의 길이로 하는 삼각형에 대하여 가장 큰 각의 크기가 가장 작은 각의 크기의 두 배가 될 때, 이 삼각형의 둘레의 길이의 합은? ① 15 ② 16 ③ 18 ④ 20 ⑤ 21 정답 ①