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수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

수악중독 2009. 11. 4. 01:25
자연수 tt 에 대하여 Hi=1+12+13+  +1i{H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{i}} 이라 할 때, 다음은 부등식 H2n1+n2    (n=0,  1,  2,  )       ㉠H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(i) n=0n=0 일 때,
     (좌변)=H20=H1=()= H_{2^0} = H_1 = (가)
     (우변) =1+02=1=1+{\dfrac{0}{2}} = 1
     그러므로  ㉠이 성립한다.
(ii) n=kn=k 일 때,
     H2k1+k2H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}} 가 성립한다고 가정하면
     H2k+1=1+12+13++12k+()H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{1}{2}} +{\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{2^k}} + (나)
               =H2k+()= H_{2^k} + (나)  
               (1+k2)+() \ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (나)
               (1+k2)+()12k+1 \ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (다) \cdot {\dfrac{1}{2^{k+1}}} 
               1+k+121+{\dfrac{k+1}{2}}
그러므로 n=k+1n=k+1 일 때도 
㉠이 성립한다.
따라서 00 과 모든 자연수 nn 에 대하여 
㉠이 성립한다.  

 
위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

  ()(가) ()(나) ()(다)
11 l=12k12k+1\sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1} 2k12^{k-1}
11 l=12k12k+1  \sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1}  2k2^k
11 12k+1\frac{1}{2^k +1} 2k2^k
32\frac{3}{2} 12k+1  \frac{1}{2^k +1}  2k12^{k-1}
32\frac{3}{2} 12k+1  \frac{1}{2^k +1}  2k2^k


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