수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

자연수 $t$ 에 대하여 ${H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{i}}$ 이라 할 때, 다음은 부등식 $H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=0$ 일 때,
     (좌변)$= H_{2^0} = H_1 = (가)$
     (우변) $=1+{\dfrac{0}{2}} = 1$
     그러므로  ㉠이 성립한다.
(ii) $n=k$ 일 때,
     $H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}$ 가 성립한다고 가정하면
     $H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{1}{2}} +{\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{2^k}} + (나)$
               $= H_{2^k} + (나)$ 
               $\ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (나)$
               $\ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (다) \cdot {\dfrac{1}{2^{k+1}}}$ 
               $1+{\dfrac{k+1}{2}}$
그러므로 $n=k+1$ 일 때도 ㉠이 성립한다.
따라서 $0$ 과 모든 자연수 $n$ 에 대하여 ㉠이 성립한다.  

 
위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
$①$	$1$	$\sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1}$	$2^{k-1}$
$②$	$1$	$\sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1}$	$2^k$
$③$	$1$	$\frac{1}{2^k +1}$	$2^k$
$④$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2^k +1}$	$2^{k-1}$
$⑤$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2^k +1}$	$2^k$

정답 ②