수악중독

$3$ 학년에 $7$ 개의 반이 있는 어느 고등학교에서 토너먼트 방식으로 축구 시합을 하려고 하는데 이미 $1$ 반은 부전승으로 결정되어 있다. 다음과 같은 형태의 대진표를 만들어 시합을 할 때, $1$ 반과 $2$ 반이 축구 시합을 할 확률은? (단, 각 반이 시합에서 이길 확률은 모두 $\Large \frac{1}{2}$ 이고, 기권하는 반은 없다고 한다.) ① $\Large \frac{3}{4}$ ② $\Large \frac{5}{8}$ ③ $\Large \frac{1}{2}$ ④ $\Large \frac{3}{8}$ ⑤ $\Large \frac{1}{4}$ 정답 ⑤

진서와 윤서는 각각 주사위를 한 개씩 한 번만 던져서 더 큰 수의 눈이 나온 사람이 이기고, 같은 수의 눈이 나오면 비기는 것으로 하였다. 진서가 던진 주사위가 홀수인 눈이 나왔을 때, 진서가 이길 확률은? ① $\Large \frac{1}{3}$ ② $\Large \frac{2}{5}$ ③ $\Large \frac{5}{12}$ ④ $\Large \frac{1}{2}$ ⑤ $\Large \frac{7}{12}$ 정답 ①

그림과 같이 둘레의 길이가 $3$ 인 원을 삼등분하는 세 점 $\rm A,\;B,\;C$ 가 있고, 각 점 위를 움직이는 말이 있다. 이 말은 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오면 시계방향으로 $1$ 만큼 움직이고, 짝수의 눈이 나오면 그 수만큼 시계방향으로 움직인다. 예를 들면, 말이 $\rm A$ 에서 출발할 때 주사위를 던져 $3$ 이 나오면 $\rm B$ 로 움직이고, 다시 주사위를 던져 $2$ 가 나오면 $\rm B$ 에서 $\rm A$ 로 움직인다. $\rm A$ 에서 출발한 말이 주사위를 $n$ 번 던진 후, $\rm A,\;B,\;C$ 에 있을 확률을 각각 $p_n ,\; q_n ,\; r_n$ 이라 하면 \(p_{n+1} = ap_n ..

좌표평면에서 원점 $\rm O$ 를 중심으로 하고, 두 초점 $\rm F,\;F'$ 이 $x$ 축 위에 있는 쌍곡선 위의 임의의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline {\rm PF},\;\overline {\rm PO},\;\overline {\rm PF'}$ 이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 이 때, 이 쌍곡선 위의 점 $(x,\;y)$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to \infty } \left| {\dfrac{y}{x}} \right|$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $\Large \frac{1}{2}$ ④ $\sqrt{3}$ ⑤ $\Large \frac{\sqrt{3}}{3}$ 정답 ① 관련개념 [수능 수학] - 파푸스의..

그림과 같이 좌표공간에 두 구 ${\rm A} \; : \; x^2 +y^2 +z^2 =4$, ${\rm B} \; : \; x^2 +(y-6)^2 +z^2 =1$이 있다. 두 구 $\rm A,\;B$ 밖의 점 $\rm P$$(x,\; y,\; z)$에서 두 구 $\rm A,\;B$에 그은 접선의 점점까지의 선분들의 집합을 각각 $S(\rm P\; ; \; A)$, $S(\rm P \; ; \;B)$라 하자. 원점 $\rm O$에 대하여 $\overline{\rm OP}=m$이라 할 때, 도형 $S(\rm P\; ; \; A)$와 도형 $S(\rm P \; ; \;B)$가 닮음이 되도록 하는 $m$의 최댓값을 구하시오. 정답 12

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 가 있다. 직선 $\rm AG$ 에 평행한 평행 광선에 의하여 이 광선과 수직인 평면에 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 의 그림자가 생겼다. 이 그림자의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. 정답 48

좌표공간에 두 점 ${\rm A} (3, \; 2, \; 4), \;\; {\rm B} (1, \; 4, \; 8)$이 있다. 점 $\rm P$가 구 $x^2 +y^2 +z^2 =1$ 위를 움직일 때, ${\overline {\rm PA}}^2 + {\overline {\rm PB}}^2$의 최솟값을 구하시오. 정답 84 풀이가 잘못되었습니다. PM의 길이가 6 이므로 이를 제곱하면 36이 되어야 하네요 맨 마지막 줄에서 2(6+36)=84 가 되어 정답이 84가 됩니다. 풀이의 오류를 지적해 주신 최기찬 님께 감사드립니다. 관련개념 [수능 수학] - 파푸스의 중선정리

평평한 책상 위에 반지름의 길이가 $2$ 인 공이 놓여 있다. 책상 위의 한 점 $\rm O$ 에서 공의 중심까지의 거리는 $4$ 이다. 오른쪽 그림과 같이 점 $\rm O$ 에서 만나고 공에 접하면서 책상에 수직으로 두 책받침을 세울 때, 두 책받침이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. 이때, $\sin \dfrac{\theta}{2}$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $6$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 에서 $\overline {\rm PQ}$ 가 $\overline {\rm AC}$ 와 $\overline {\rm DF}$ 에 동시에 수직이 되도록 $\overline {\rm AC}$ 위에 점 $\rm P$ 를, 대각선 $\rm DF$ 위에 점 $\rm Q$ 를 잡을 때, $\overline {\rm PQ}$ 의 길이는? ① $\sqrt{2}$ ② $\sqrt{3}$ ③ $2$ ④ $\sqrt{5}$ ⑤ $\sqrt{6}$ 정답 ⑤

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