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수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

수악중독 2009. 11. 4. 01:10
다음은 임의의 자연수 nn 에 대하여 an>0a_n >0 이고 k=1nak3=(k=1nak)2\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 이면 an=() a_n = (가) 임을 증명하는 과정이다.

임의의 자연수 nn 에 대하여 an>0a_n >0 이고 k=1nak3=(l=1nak)2\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2 이므로
ak+13=i=1k+1ai3i=1kai3a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3}  
         =(i=1k+1ai)2(i=1kai)2= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i \right )^2 - \left ( \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) ^2  
         =(i=1k+1aii=1kai)(i1k+1ai+i=1kai)= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i - \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) \left ( \sum \limits _{i-1}^{k+1} a_i + \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right )
         =()(()+2i=1kai)=(나) \left ( (나) +2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right )
 ak+12=ak+1+2i=1kai      \therefore a_{k+1}^{2} = a_{k+1} + 2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \;\;\cdots\cdots \;①
 ①과 ②에서 ak+12ak2=()a_{k+1}^{2} - a_{k}^{2} = (다)
따라서 {an}\{a_n\} 은 등차수열이다.
an=()\therefore a_n = (가)  


위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

  ()(가) ()(나) ()(다)
an=2na_n = 2n ak+1a_{k+1} ak+1+aka_{k+1} +a_{k}
an=2n  a_n = 2n  aka_k ak+1ak  a_{k+1} -a_{k} 
an=n  a_n = n  ak+1a_{k+1} ak+1ak  a_{k+1} -a_{k} 
an=na_n =n aka_k ak+1+ak  a_{k+1} +a_{k} 
an=na_n =n ak+1a_{k+1} ak+1+ak  a_{k+1} +a_{k}