수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

다음은 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이면 $a_n = (가)$ 임을 증명하는 과정이다.

임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n >0$ 이고 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 이므로
$a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3}$ 
         $= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i \right )^2 - \left ( \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) ^2$ 
         $= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i - \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) \left ( \sum \limits _{i-1}^{k+1} a_i + \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right )$
         $=(나) \left ( (나) +2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right )$
 $\therefore a_{k+1}^{2} = a_{k+1} + 2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \;\;\cdots\cdots \;①$
 ①과 ②에서 $a_{k+1}^{2} - a_{k}^{2} = (다)$
따라서 $\{a_n\}$ 은 등차수열이다.
$\therefore a_n = (가)$  

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
$①$	$a_n = 2n$	$a_{k+1}$	$a_{k+1} +a_{k}$
$②$	$a_n = 2n$	$a_k$	$a_{k+1} -a_{k}$
$③$	$a_n = n$	$a_{k+1}$	$a_{k+1} -a_{k}$
$④$	$a_n =n$	$a_k$	$a_{k+1} +a_{k}$
$⑤$	$a_n =n$	$a_{k+1}$	$a_{k+1} +a_{k}$

정답 ⑤