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수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상 본문
(i) \(n=1\) 일 때,
(좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k} = k \cdot {2^{k - 1}}\] 이제 \(n=k+1\) 일 때, 성립함을 보이자.
\(_{k + 1}{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_k} + {\left( {k + 1} \right)_{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}}\)
\(= \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {\left( {i{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_i}} \right)} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {i \cdot \left( { 가 } \right)} \right\} + \left( {k + 1} \right){ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}}} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {1 + i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + } \left( {k + 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} } \)
\( = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} } \right) + \left[ {\sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}} } \right] + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right)} \)
\( = (\;나\; ) + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)} \)
\(=(다)\)
그러므로 \(n=k+1\) 일 때에도 성립한다.
따라서, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식을 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
\[(가)\] | \[(나)\] | \[(다)\] | |
\[①\] | \[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\] | \[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \] | \[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\] |
\[②\] | \[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\] | \[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \] | \[\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}\] |
\[③\] | \[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\] | \[\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \] | \[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\] |
\[④\] | \[{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}}\] | \[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \] | \[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\] |
\[⑤\] | \[{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}}\] | \[\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \] | \[\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}\] |
관련개념
[수능 수학/수능수학] - 이항 계수의 성질 - C(n, r)=C(n-1, r-1)+C(n-1, r)