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수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

수악중독 2009. 11. 4. 01:54
다음은 모든 자연수 nn 에 대하여 nC1+2nC2+3nC3+  +nnCn=n2n1_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}} 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) n=1n=1 일 때,
    (좌변)=1C1=1{ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1, (우변)=20=1=2^0 =1 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(ii) n=kn=k 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면   kC1+2kC2+3kC3+  +kkCk=k2k1_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k} = k \cdot {2^{k - 1}} 이제 n=k+1n=k+1 일 때, 성립함을 보이자.
k+1C1+2k+1C2+3k+1C3+  +kk+1Ck+(k+1)k+1Ck+1_{k + 1}{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + k{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_k} + {\left( {k + 1} \right)_{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}} 
=i=1k+1(ik+1Ci)= \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {\left( {i{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_i}} \right)}

=i=1k{i()}+(k+1)k+1Ck+1 = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {i \cdot \left( { 가 } \right)} \right\} + \left( {k + 1} \right){ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}}}
=i=1k{(1+i1)kCi1}+i=1k(ikCi)+(k+1)kCk = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {1 + i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + } \left( {k + 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}}
=i=1kkCi1 +i=1k{(i1)kCi1}+i=1k(ikCi)+kkCk+kCk = \sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}}  + \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} }
=(i=1kkCi1+kCk)+[i=1k{(i1)kCi1}+kkCk]+i=1k(ikCi) = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} } \right) + \left[ {\sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}} } \right] + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right)}  
=(    )+i=1k(ikCi) +i=1k(ikCi) = (\;나\; ) + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)}  + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)}   
=()=(다)
그러므로 n=k+1n=k+1 일 때에도 성립한다.
따라서, 모든 자연수 nn 에 대하여 주어진 등식을 성립한다. 


위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
  ()(가) ()(나) ()(다)
kCi1+kCi{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i} i=0kkCi\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} (k+1)2k\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}
kCi1+kCi{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i} i=0kkCi\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} (2k+1)2k1\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}
kCi1+kCi{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i} i=1kkCi\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} (k+1)2k\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}
kCi+kCi+1{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}} i=0kkCi\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} (k+1)2k\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}
kCi+kCi+1{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}} i=1kkCi\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} (2k+1)2k1\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}



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