수악중독

\(-1\) 인 아닌 실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 가 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - x - 1}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{2x + a}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 일 때, 함수 \(g(x)=f(x)f(x-1)\) 이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 \(a\) 의 값은? ① \(-\dfrac{7}{2}\) ② \(-3\) ③ \(-\dfrac{5}{2}\) ④ \(-2\) ⑤ \(-\dfrac{3}{2}\) 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 \(8\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 선분 \(\rm AB, \; BC, \; CA\) 의 중점을 각각 \(\rm D, \; E,\; F\) 라 하고 두 정삼각형 \(\rm BED, \; ECF\) 를 그린 후 마름모 \(\rm ADEF\) 에 중심이 \(\rm O\) 인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 \(\rm DE, \; EF\) 의 접점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 떄, 사각형 \(\rm OPEQ\) 를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자.그림 \(R_1\) 에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 \(R_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) ..

최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)=|f(x)|\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(x)\) 는 \(x=1\) 에서 미분가능하고 \(g(1)=g'(1)\) 이다.(나) \(g(x)\) 는 \(x=-1. \;x=0, \; x=1\) 에서 극솟값을 갖는다. \(g(2)\) 의 값은? ① \(2\) ② \(4\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(10\) 정답 ③

한 개의 주사위를 \(4\) 번 던질 때 \(6\) 의 약수의 눈이 \(2\) 번 나올 확률을 \(p_1\) 이라 하고, 한 개의 동전을 \(3\) 번 던질 때 동전의 앞면이 \(2\) 번 나올 확률을 \(p_2\) 라 하자. \(\dfrac{1}{p_1p_2}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다. [단계 1] \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.[단계 2] 의 아래에 \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 를 얻는다.[단계 3] 의 아래에 \(4\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.\[\vdots\][단계 \(m\)] 의 아래에 \((m+1)\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다. (\(m \ge 2)\) 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 \(a_n\) \((n=1, \;2., \;3, \; \cdots)\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1=3,\; a_2=9\) 이다. \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(165\)

그림과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4k^2 \log x\) 의 그래프가 있다. 점 \(\rm P(2, \;0)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x), \; y=h(x)\) 와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p ,\; q\) 라 하자. 직선 \(y=p\) 와 곡선 \(y=f(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm Q}(a, \;p)\), 직선 \(y=q\) 와 곡선 \(y=g(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm R}(b, \;q)\) 라 하자. 세 점 \(\rm P, \;Q, \;R\) 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a, \; b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, ..

최고차항의 계수가 \(1\) 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^3 f(x) dx\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(4m\) 의 값을 구하시오. (가) \(f(0)=0\)(나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(2-x)=f'(2+x)\) 이다.(다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x) \ge -3\) 이다. 정답 \(27\)

구간 \((0,\; \infty)\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\dfrac{p}{x}\; (p>1)\) 의 그래프는 그림과 같다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1, \; x=p\) 로 둘러싸인 부분을 \(x\) 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 \(20\pi\) 일 때, 상수 \(p\) 의 값은? ① \(\dfrac{17}{4}\) ② \(\dfrac{9}{2}\) ③ \(\dfrac{19}{4}\) ④ \(5\) ⑤ \(\dfrac{21}{4}\) 정답 ④

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{4}\) 이고 \[ (n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면 \(\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}\)이다. \(b_n=\dfrac{n}{a_n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=3b_n + (가) \)이고, \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\) 이다.\(b_1=4\) 이므로 \(b_n= (나)\) \(b_n = (나) +1\)이다. 그러므로 \(a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)\)이다. 위의 (가)에..