수악중독

두 초점이 $\rm F, \; F'$ 인 쌍곡선 $x^2 - \dfrac{y^2}{3}=1$ 위의 점 $\rm P$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면에 있다.(나) 삼각형 $\rm PF'F$ 가 이등변삼각형이다. 삼각형 $\rm PF'F$ 의 넓이를 $a$ 라 할 때, 모든 $a$ 의 값의 곱은? ① $3\sqrt{77}$ ② $6\sqrt{21}$ ③ $9\sqrt{10}$ ④ $21\sqrt{2}$ ⑤ $3 \sqrt{105}$ 정답 ⑤

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 정삼각형 $\rm ABC$ 의 외심을 $\rm O$ 라 할 때, 중심이 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm AO}$ 인 원을 $O_{\rm A}$ , 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BO}$ 인 원을 $O_{\rm B}$, 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm CO}$ 인 원을 $O_{\rm C}$ 라 하자. 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm B}$ 의 내분의 공통부분, 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm C}$ 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\r..

함수 $f(x)$ 를 $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\left| {\sin x} \right| - \sin x}&{\left( { - \frac{7}{2}\pi \le x < 0} \right)}\\{\sin x - \left| {\sin x} \right|}&{\left( {0 \le x \le \frac{7}{2}\pi } \right)}\end{array}} \right.$ 라 하자. 닫힌 구간 $\left [ - \dfrac{7}{2} \pi , \; \dfrac{7}{2} \pi \right ]$ 에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^x f(t) dt \ge 0$ 이 되도록 하는 실..

그림과 같이 $\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 에 대하여 점 $\rm A$ 의 평면 $\rm BCD$ 위로의 정사영을 $\rm P$ 라 하고 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. $\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 일 때, 삼각형 $\rm BCP$ 의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $162$

다음 조건을 만족시키는 $2$ 이상의 자연수 $a, \;b, c,\;d$ 의 모든 순서쌍 $a, \;b, \;c,\;d)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c+d=20$(나) $a, \; b,\; c,\; d$ 모두 $d$ 의 배수이다. 정답 $32$

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm B$ 를 포함하지 않는 호 $\rm AC$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm PAC = \theta$ 라 하고, 선분 $\rm PC$ 를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{s(\theta)}{\theta ^2} = a \pi$ 일 때, $60a$ 의 값을 구하시오. 정답 $80$

좌표공간에 두 개의 구 $S_1 \;:\; x^2+y^2+(z-3)^2=1,\;\;\; S_2 \;:\; x^2+y^2+(z+3)^2=4$ 가 있다. 점 ${\rm P} \left ( \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \; 0 \right )$ 을 포함하고, $S_1$ 과 $S_2$ 에 동시에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 점 ${\rm Q} \left ( k, \; -\sqrt{3}, \; 2 \right )$ 가 평면 $\alpha$ 위의 점일 때, $120k$ 의 값을 구하시오. 정답 $40$

양수 $a$ 와 두 실수 $b, \;c$ 에 대하여 함수 $f(x)= \left ( ax^2 +bx+c \right ) e^x$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)$ 는 $x=-\sqrt{3}$ 과 $x=\sqrt{3}$ 에서 극값을 갖는다.(나) $0 \le x_1 < x_2$ 인 임의의 두 실수 $x_1 , x_2$ 에 대하여 $f(x_2) - f(x_1) +x_2 -x_1 \ge 0$ 이다. 세 수 $a, \;b, \;c$ 의 곱 $abc$ 의 최댓값을 $\dfrac{k}{e^3}$ 라 할 때, $60k$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$ 평균값의 정리에 대한 개념이 있는 분이라면 \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_..

양의 약수의 개수 양의 약수의 총합 양의 약수의 총곱 [미적분과 통계기본 질문과 답변/확률] - 미적분과 통계기본_확률_정수의 분류_난이도 중 [수학1 질문과 답변/수열] - 수학1_여러 가지 수열_수열의 합_난이도 중 [수학1 질문과 답변/수열의 극한] - 수학1_수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 하 [수학1 질문과 답변/로그와 로그함수] - 수학1_상용로그_지표와 가수_가수와 숫자의 배열_난이도 중

두 이차정사각행렬 $A, \; B$ 가 $AB-A=2E,\;\; BA^2-A^2+B=-E$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬이다.) ㄱ. $AB=BA$ㄴ. $2A+B=-E$ㄷ. $A+E$ 의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤