수악중독

두 초점이 \(\rm F, \; F'\) 인 쌍곡선 \(x^2 - \dfrac{y^2}{3}=1\) 위의 점 \(\rm P\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\rm P\) 는 제\(1\)사분면에 있다.(나) 삼각형 \(\rm PF'F\) 가 이등변삼각형이다. 삼각형 \(\rm PF'F\) 의 넓이를 \(a\) 라 할 때, 모든 \(a\) 의 값의 곱은? ① \(3\sqrt{77}\) ② \(6\sqrt{21}\) ③ \(9\sqrt{10}\) ④ \(21\sqrt{2}\) ⑤ \(3 \sqrt{105}\) 정답 ⑤

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 외심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm AO}\) 인 원을 \(O_{\rm A}\) , 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm BO}\) 인 원을 \(O_{\rm B}\), 중심이 \(\rm C\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm CO}\) 인 원을 \(O_{\rm C}\) 라 하자. 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm B}\) 의 내분의 공통부분, 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm C}\) 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\r..

함수 \(f(x)\) 를 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\left| {\sin x} \right| - \sin x}&{\left( { - \frac{7}{2}\pi \le x < 0} \right)}\\{\sin x - \left| {\sin x} \right|}&{\left( {0 \le x \le \frac{7}{2}\pi } \right)}\end{array}} \right.\] 라 하자. 닫힌 구간 \(\left [ - \dfrac{7}{2} \pi , \; \dfrac{7}{2} \pi \right ]\) 에 속하는 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_a^x f(t) dt \ge 0\) 이 되도록 하는 실..

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 인 사면체 \(\rm ABCD\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영을 \(\rm P\) 라 하고 점 \(\rm A\) 에서 선분 \(\rm BC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) 일 때, 삼각형 \(\rm BCP\) 의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(162\)

다음 조건을 만족시키는 \(2\) 이상의 자연수 \(a, \;b, c,\;d\) 의 모든 순서쌍 \(a, \;b, \;c,\;d)\) 의 개수를 구하시오. (가) \(a+b+c+d=20\)(나) \(a, \; b,\; c,\; d\) 모두 \(d\) 의 배수이다. 정답 \(32\)

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 점 \(\rm B\) 를 포함하지 않는 호 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle \rm PAC = \theta\) 라 하고, 선분 \(\rm PC\) 를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{s(\theta)}{\theta ^2} = a \pi\) 일 때, \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)

좌표공간에 두 개의 구 \[ S_1 \;:\; x^2+y^2+(z-3)^2=1,\;\;\; S_2 \;:\; x^2+y^2+(z+3)^2=4\] 가 있다. 점 \({\rm P} \left ( \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \; 0 \right )\) 을 포함하고, \(S_1\) 과 \(S_2\) 에 동시에 접하는 평면을 \(\alpha\) 라 하자. 점 \({\rm Q} \left ( k, \; -\sqrt{3}, \; 2 \right )\) 가 평면 \(\alpha\) 위의 점일 때, \(120k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

양수 \(a\) 와 두 실수 \(b, \;c\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \left ( ax^2 +bx+c \right ) e^x\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\) 는 \(x=-\sqrt{3}\) 과 \(x=\sqrt{3}\) 에서 극값을 갖는다.(나) \(0 \le x_1 < x_2\) 인 임의의 두 실수 \(x_1 , x_2\) 에 대하여 \(f(x_2) - f(x_1) +x_2 -x_1 \ge 0\) 이다. 세 수 \(a, \;b, \;c\) 의 곱 \(abc\) 의 최댓값을 \(\dfrac{k}{e^3}\) 라 할 때, \(60k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(15\) 평균값의 정리에 대한 개념이 있는 분이라면 \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_..

양의 약수의 개수 양의 약수의 총합 양의 약수의 총곱 [미적분과 통계기본 질문과 답변/확률] - 미적분과 통계기본_확률_정수의 분류_난이도 중 [수학1 질문과 답변/수열] - 수학1_여러 가지 수열_수열의 합_난이도 중 [수학1 질문과 답변/수열의 극한] - 수학1_수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 하 [수학1 질문과 답변/로그와 로그함수] - 수학1_상용로그_지표와 가수_가수와 숫자의 배열_난이도 중

두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 \[AB-A=2E,\;\; BA^2-A^2+B=-E\] 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. \(AB=BA\)ㄴ. \(2A+B=-E\)ㄷ. \(A+E\) 의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤