수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 한 변의 길이가 \(8\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 선분 \(\rm AB, \; BC, \; CA\) 의 중점을 각각 \(\rm D, \; E,\; F\) 라 하고 두 정삼각형 \(\rm BED, \; ECF\) 를 그린 후 마름모 \(\rm ADEF\) 에 중심이 \(\rm O\) 인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 \(\rm DE, \; EF\) 의 접점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 떄, 사각형 \(\rm OPEQ\) 를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자.

그림 \(R_1\) 에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 \(R_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 

그림 \(R_2\) 에서 새로 그려진 네 개의 정삼각형의 내부에 그림 \(R_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_3\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \(6\sqrt{3}\)          ② \(\dfrac{13}{2} \sqrt{3}\)          ③ \(7\sqrt{3}\)          ④ \(\dfrac{15}{2} \sqrt{3}\)          ⑤ \(8 \sqrt{3}\)

정답 ①