수악중독

$5$ 명의 학생 $\rm A.\; B,\; C,\; D,\; E$ 가 같은 영화를 보기 위해 함께 상영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 $5$ 개의 좌석만 남아 있었다. (가) 구역에는 $1$ 열에 $2$ 개의 좌석이 남아 있었고, (나) 구역에는 $1$ 열에 $1$ 개와 $2$ 열에 $2$ 개의 좌석이 남아 있었다.$5$ 명의 학생 모두가 남아 있는 $5$ 개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였다. 학생 $\rm A$ 와 $\rm B$ 가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 학생 $\rm C$ 와 $\rm D$ 가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 확률은? ① $\dfrac{1}{18}$ ② $\dfrac{1}{12}$ ③..

함수 $f(x)=\sin \pi x$와 이차함수 $g(x)=x(x+1)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=\displaystyle \int _{g(x)}^{g(x+1)} f(t) dt$ 라 할 때, 닫힌 구간 $[-1, \;1]$ 에서 방정식 $h(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ⑤

한 모서리의 길이가 $4$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 에서 선분 $\rm AD$ 를 $1:3$ 으로 내분하는 점을 $\rm P$, $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 두 평면 $\rm PBC$ 와 $\rm QBC$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $16$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=2$(나) $\displaystyle \int _0 ^1 (x-1) f'(x+1) dx = -4$ $\displaystyle \int _1 ^2 f(x) dx$ 의 값을 구하시오. (단, $f'(x)$ 는 연속함수이다.) 정답 $6$

주머니 속에 $1$ 의 숫자가 적혀 있는 공 $1$ 개, $3$ 의 숫자가 적혀 있는 공 $n$ 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $1$ 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 $2$ 번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 하자. ${\rm P} \left ( \overline{x} =1 \right ) = \dfrac{1}{49}$ 일 때, ${\rm E} \left ( \overline{X} \right ) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $26$

좌표평면에서 함수 $f(x)=\sqrt{3} \ln x$ 의 그래프와 직선 $l\;:\; y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이 있다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 서로 다른 두 점 ${\rm A}(\alpha, \; f(\alpha)), \; {\rm B}(\beta, \; f(\beta))$ 에서의 접선을 각각 $m, \;n$ 이라 하자. 세 직선 $l,\;m,\;n$ 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, $6(\alpha + \beta)$ 의 값을 구하시오. 정답 $32$

좌표공간에서 구 $S\;:\; x^2 +y^2 + (z-3)^2 =4$ 와 평면 $x-y+z-6=0$ 이 만나성 생기는 원을 $C$ 라 하자. 구 $S$ 위의 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{2},\; \sqrt{2},\; 3 \right )$ 과 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm B$ 에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\rm OA},\; \overrightarrow{\rm OB}$ 의 내적 $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $134$

이항정리 $n$ 이 자연수일 때, $\begin{aligned} (a+b)^n &= {_n{\rm C}_0} a^n + {_n{\rm C}_1} a^{n-1}b^1 + {_n{\rm C}_2} a^{n-2} b^2 + \cdots + {_n{\rm C}_r} a^{n-r} b^r+ \cdots + {_n{\rm C}_n} b^n \\ &= \sum \limits_{r=0}^{n} {_n{\rm C}_r} a^{n-r} b^r \end{aligned}$ 이항계수의 성질 1 \[\begin{aligned} 2^n &= {_n{\rm C}_0} + {_n{\rm C}_1} + {_n{\rm C}_2} + \cdots + {_n{\rm C}_{n-1}} + {_n{\rm C}_n}\\ \\ 2^{n-1}..

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(2-x)=f(2+x)$ 이다. (나) $f(0)=0,\;\; f'(1)=0$ 함수 $f(x)$ 가 $x=p$ 에서 극댓값 $q$ 를 가질 때, $p+q$ 의 값은? ① $-8$ ② $-7$ ③ $-6$ ④ $-5$ ⑤ $-4$ 정답 ③ [수능 수학/수능수학] - 사차함수 그래프의 특징

$r(x)=f(x)g(x)$ 일 때, $r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 먼저 도함수의 정의를 이용하여 $r'(x)$ 를 표현해 보자.$r'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{r(x+h)-r(x)}{h}$이제 $r(x)$ 를 모두 $f(x)g(x)$로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자. \[\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0}..