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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
수악중독
최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다. (나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$ $g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e..
최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \ln |f(x)| & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 의 극솟값은? (가) 함수 $g(x)$ 는 $x \ne 1$ 인 모든 실수 $x$ 에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극대이고, 함수 $|g(x)|$ 는 $x=2$ 에서 극소이다. (다) 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. ① $\ln \dfrac{13}{27}$ ② $\ln \dfrac{16}{27}$ ③ $\ln \dfrac{19}{27}$ ④ $\ln \dfr..
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, $\angle \rm OAP$ 를 이등분하는 직선과 세 선분 $\rm HP, \; OP, \; OB$ 의 교점을 각각 $\rm Q, \; R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm APH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm AQH$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PSR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\t..
양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $g(5)+ \lim \limits_{t \to 5} g(t)=5$ 일 때, $\lim \limits_{t \to k-}g(t) \ne \lim \limits_{t \to k+}g(t)$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $16$
그림과 같이 좌표평면 위의 제2사분면에 있는 점 $\rm A$ 를 지나고 기울기가 각각 $m_1, \; m_2 \; (0
함수 $f(x)=a \cos x + x \sin x +b$ 와 $-\pi
함수 $f(x)=6\pi(x-1)^2$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=3f(x)+4 \cos f(x)$$ 라 하자. $0
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm PAB=\theta, \; \angle QBA=2\theta$ 가 되도록 잡고, 두 선분 $\rm AB, \; BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 이라 하자. 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm BR$ 위의 점 $\rm T$, 선분 $\rm AR$ 위의 점 $\rm U$ 를 선분 $\rm UT$ 가 선분 $\rm AB$ 에 평행하고 삼각형 $\rm STU$ 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm AR, \; QR$ 와 호 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm STU$..
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1$, $\overline{\rm BC}=2$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하고, 점 $\rm M$ 을 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. $\angle \rm BAC$ 의 이등분선이 두 직선 $\rm BC, \; DM$ 과 만나는 점을 각각 $\rm E, \; F$ 라 하자. $\angle \rm CBA=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm ABE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm DFC$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\..
서로 다른 두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = -\dfrac{ax^3+bx}{x^2+1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ne 0$ 이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x), \; h(x)=(g \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(2)=h(0)$ (나) $g'(2)=-5h'(2)$ $4(b-a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$