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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
수악중독
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 에 대하여 $f(x)$ 가 함수 $g(x)$ 의 역함수이고, $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-2}{x-2}=\dfrac{1}{3}$ 이다. 함수 $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ 라 할 때, $h'(2)$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ②
미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{\ln (1+3x)}=2$$ 일 때, $f'(0)$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ③
그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle {\rm AOC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm C$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위에 점 $\rm P$ 와 호 $\rm CA$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\overline{\rm PB}=\overline{\rm QC}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AP$ 위에 점 $\rm R$ 를 $\angle {\rm CQR}=\dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡는다. 선분 $\rm AP$ 와 선분 $\rm CO$ 의 교점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm POB$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 ..
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 하고 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $$\angle {\rm BOP}=\theta, \quad \angle {\rm BOQ}=2\theta$$ 가 되도록 잡는다. 점 $\rm Q$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 호 $\rm AB$ 와 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 선분 $\rm BR$ 가 두 선분 $\rm OP, \; OQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm S, \; T$ 라 하자. 세 선분 $\rm AO, \; OT, \; TR$ 와 호 $\rm RA$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(..
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 에서 선분 $\rm OB$ 를 $2:3$ 으로 내분하는 점을 $\rm C$ 라 하자. 점 $\rm P$ 에서 호 $\rm AB$ 에 접하는 직선과 직선 $\rm OB$ 의 교점을 $\rm Q$ 라 하고, 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$, 점 $\rm R$ 에서 선분 $\rm PQ$ 에 내린 수선의 발을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm POB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OCP$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PRS$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $80 \times \lim \lim..
최고차항의 계수가 $-2$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 두 실수 $a\; (a>0)$, $b$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x+1)}{x} & (x
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm PA}=\overline{\rm PC}=\overline{\rm PD}$ 가 되도록 호 $\rm PB$ 위에 점 $\rm C$ 와 선분 $\rm OA$ 위에 점 $\rm D$ 를 잡는다. 점 $\rm D$ 를 지나고 선분 $\rm OP$ 와 평행한 직선이 선분 $\rm PA$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle {\rm POA}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm CDP$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm EDA$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\..
함수 $f(x)=e^x+x$ 가 있다. 양수 $t$ 에 대하여 점 $(t, \; 0)$ 과 점 $(x, \; f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$ 에서 최소일 때, 실수 $f(s)$ 의 값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 의 역함수를 $h(t)$ 라 할 때, $h'(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $3$
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 호 $\rm AP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 호 $\rm PB$ 와 호 $\rm PQ$ 의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $\rm AP, \; BQ$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하고 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm BAP = \theta$ 라 할 때, 두 선분 $\rm PR, \; QR$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm PS, \; BS$ 와 호 $\rm BP$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를..