수악중독

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)+6}{x-3}=4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{9}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{7}{9}$ ④ $\dfrac{8}{9}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ④

매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타낸 곡선 $$x=2t^2+t, \quad y=\sin \dfrac{\pi}{2}t$$ 위의 점 $(1, \; a)$ 에서의 접선의 기울기는 $m$ 이다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{18}$ ② $\dfrac{\pi}{9}$ ③ $\dfrac{\pi}{6}$ ④ $\dfrac{2}{9}\pi$ ⑤ $\dfrac{5}{18}\pi$ 더보기 정답 ③

함수 $f(x)=(x+k) \ln x$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $$g \left ( \dfrac{x}{k} \right ) = f^{-1}(x), \quad g(2)=k$$ 를 만족시킬 때, $g'(2)$ 의 값은? (단, $k$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $\dfrac{e}{5}$ ② $\dfrac{e}{3}$ ③ $e$ ④ $3e$ ⑤ $5e$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\..

$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=axe^{-bx^2+b}$$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$ (나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다. $\dfrac{g'..

함수 $f(x)=\ln (1+2x)$ 에 대하여 $$\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f'(1+h)-f'(1)}{h}$$ 의 값은? ① $-\dfrac{2}{9}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{4}{9}$ ④ $-\dfrac{5}{9}$ ⑤ $-\dfrac{2}{3}$ 더보기 정답 ③

매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선 $$x=t-\sin t, \quad y= \cos t$$ 에 대하여 $t=\dfrac{\pi}{3}$ 에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는? ① $\sqrt{3}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ③ $0$ ④ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $-\sqrt{3}$ 더보기 정답 ⑤

매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선 $x=\ln \sqrt{t}$, $y=1-2e^{-t}$ 에 대하여 $t=\ln2$ 에서의 접선의 기울기는? ① $\ln2$ ② $2 \ln 2$ ③ $3\ln2$ ④ $4\ln2$ ⑤ $5\ln2$ 더보기 정답 ②

함수 $f(x)=(\sin x + a) \cos x$ 에 대하여 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ②

양의 상수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2a, \; f(2a))$ 에서의 접선은 점 $(2a-1, \; 0)$ 을 지난다. (나) 함수 $e^{-x}f(x)$ 는 $x=a, \; x=4a$ 에서만 극값을 갖는다. 곡선 $y=e^{-x}f(x)$ 의 $x=0$ 에서의 접선의 기울기가 $-64$ 일 때, $f \left (5\sqrt{2} \right ) - f' \left (5\sqrt{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $144$