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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
수악중독
이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\{f(x)+2\} e^{f(x)}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(a)=6$ 인 $a$ 에 대하여 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 최댓값을 갖는다. (나) $g(x)$ 는 $x=b, \; x=b+6$ 에서 최솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $(\alpha - \beta)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) 더보기 정답 $24$
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle \rm ABC= \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 선분 $\rm AC$ 위에 점 $\rm D$ 가 있다. $\angle \rm CAB = \theta$ 이고, $\angle \rm ABD = 2 \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm BCD$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0< \theta < \dfrac{\pi}{4}$) ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$..
삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=f \left ( \left | 3xe^{1-x} \right | \right )$$ 은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극값을 갖는 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$은 자연수) 라 하고 집합 $A$ 를 $$A=\{g(\alpha_i) \; | \; i=1, \; 2, \; \cdots, \; m\}$$ 이라 하면, 집합 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $m+n(A)=7$ (나) $g(\alpha_1)=g(\alpha_2) +3, \;\; g(\alpha_1) + g(\alp..
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le 2) \\[10pt] \dfrac{f(x)}{x-1} & (x2) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $g(2) \ne 0$ 이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $a$ 의 개수는 $1$ 이다. (다) $g(k)=0, \; g'(k)=\dfrac{16}{3}$ 인 실수 $k$ 가 존재한다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $p$ 일 때, $p^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $64$
그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 를 반지름으로 하는 사분원 $\rm OBC$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 위의 점 $\rm Q$ 가 $\angle \rm APC = \angle PCQ$를 만족시킨다. 선분 $\rm AP$ 가 두 선분 $\rm CO, \; CQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm PAB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm RQS$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^2}$ 의 값은? (단, $0..
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 인 원에 내접하고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}$ 인삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm BAC}=\theta$ 라 하고 점 $ \rm B$ 를 지나고 직선 $\rm ABC$ 에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm D$, 직선 $\rm BD$ 와 직선 $\rm AC$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta ^2 \times f(\theta)}$ 의 값..
함수 $f(x)=x^3-x$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=ax^3+x^2+bx+1$ 이 있다. 함수 $g(x)$ 의 역함수 $g^{-1}(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} \left ( f \circ g^{-1} \right )(x) & (x1) \\[10pt] \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & (0 \le x \le 1) \end{cases}$$이라 하자. 함수 $h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $g(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $15$
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 할 때, 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm OP$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하고, $\angle \rm OQB$ 의 이등분선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 이라 하자. $\angle \rm OAP=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OAP$ 의 넓이를 $f(\theta)$ , 삼각형 $\rm PQR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^4 ..
$t>2e$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)= t (\ln x)^2 - x^2$ 이 $x=k$ 에서 극대일 때, 실수 $k$ 의 값을 $g(t)$ 라 하면 $g(t)$ 는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$ 인 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\alpha \times \{ g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$
$t> \dfrac{1}{2} \ln 2$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln \left ( 1+ e^{2x}-e^{-2t} \right )$ 과 직선 $y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln 2)= \dfrac{q}{p} \sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $11$