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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
수악중독
함수 $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin ^2 x} $ 와 함수 $g(x)$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x^2} = 240$ 일 때, $\lim \limits_{x \to 0} f(2x) g \left ( \dfrac{x}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$
다음 조건을 만족시키는 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $ab$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$-e^{-x+1} \le ax+b \le e^{x-2}$$ 이 성립한다. $\left | M \times m^3 \right | = \dfrac{q}{p} $ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $43$
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1, \; \overline{\rm BC}=2$ 인 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 에 대하여 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 중심이 $\rm M$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm MH}$ 인 원의 선분 $\rm AM$ 과 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm HC$ 가 선분 $\rm DM$ 과 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle \rm ABC = \theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm MEH$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim ..
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $0 \le x
두 양수 $a, \; b\; (b0)\end{cases}$$ 이라 하자. 양수 $m$ 에 대하여 직선 $y=mx$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(m)$ 이라 할 때, 함수 $g(m)$ 은 다음 조건을 만족시킨다. $\lim \limits_{m \to \alpha -}g(m) - \lim \limits_{m \to \alpha +} g(m)=1$ 을 만족시키는 양수 $\alpha$ 가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$ 에 대하여 점 $(b, \; f(b))$ 는 직선 $y=\alpha x$ 와 곡선 $y=f(x)$ 의 교점이다. $ab^2 = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이고, ..
함수 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 와 양의 실수 $t$ 에 대하여 기울기가 $t$ 인 직선이 곡선 $y=f(x)$ 에 접할 때 접점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 기울기가 $a$ 일 때, 미분가능한 함수 $g(t)$ 에 대하여 $a \times g'(a)$ 의 값은? ① $-\dfrac{\sqrt{e}}{3}$ ② $-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ ③ $-\dfrac{\sqrt{e}}{5}$ ④ $-\dfrac{\sqrt{e}}{6}$ ⑤ $-\dfrac{\sqrt{e}}{7}$ 정답 ②
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, 호 $\rm BP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\angle \rm POH = \angle PHQ$ 가 되도록 잡는다. $\angle \rm POH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OHQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $단 \left (단,\; 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ ① $\dfrac{..