수악중독

함수 $f(x)=a \cos x + x \sin x +b$ 와 $-\pi

함수 $f(x)=6\pi(x-1)^2$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=3f(x)+4 \cos f(x)$$ 라 하자. $0

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm PAB=\theta, \; \angle QBA=2\theta$ 가 되도록 잡고, 두 선분 $\rm AB, \; BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 이라 하자. 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm BR$ 위의 점 $\rm T$, 선분 $\rm AR$ 위의 점 $\rm U$ 를 선분 $\rm UT$ 가 선분 $\rm AB$ 에 평행하고 삼각형 $\rm STU$ 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm AR, \; QR$ 와 호 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm STU$..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1$, $\overline{\rm BC}=2$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하고, 점 $\rm M$ 을 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. $\angle \rm BAC$ 의 이등분선이 두 직선 $\rm BC, \; DM$ 과 만나는 점을 각각 $\rm E, \; F$ 라 하자. $\angle \rm CBA=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm ABE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm DFC$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\..

서로 다른 두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = -\dfrac{ax^3+bx}{x^2+1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ne 0$ 이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x), \; h(x)=(g \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(2)=h(0)$ (나) $g'(2)=-5h'(2)$ $4(b-a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\{f(x)+2\} e^{f(x)}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(a)=6$ 인 $a$ 에 대하여 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 최댓값을 갖는다. (나) $g(x)$ 는 $x=b, \; x=b+6$ 에서 최솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $(\alpha - \beta)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) 더보기 정답 $24$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle \rm ABC= \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 선분 $\rm AC$ 위에 점 $\rm D$ 가 있다. $\angle \rm CAB = \theta$ 이고, $\angle \rm ABD = 2 \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm BCD$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0< \theta < \dfrac{\pi}{4}$) ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$..

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=f \left ( \left | 3xe^{1-x} \right | \right )$$ 은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극값을 갖는 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$은 자연수) 라 하고 집합 $A$ 를 $$A=\{g(\alpha_i) \; | \; i=1, \; 2, \; \cdots, \; m\}$$ 이라 하면, 집합 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $m+n(A)=7$ (나) $g(\alpha_1)=g(\alpha_2) +3, \;\; g(\alpha_1) + g(\alp..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le 2) \\[10pt] \dfrac{f(x)}{x-1} & (x2) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $g(2) \ne 0$ 이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $a$ 의 개수는 $1$ 이다. (다) $g(k)=0, \; g'(k)=\dfrac{16}{3}$ 인 실수 $k$ 가 존재한다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $p$ 일 때, $p^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $64$

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 를 반지름으로 하는 사분원 $\rm OBC$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 위의 점 $\rm Q$ 가 $\angle \rm APC = \angle PCQ$를 만족시킨다. 선분 $\rm AP$ 가 두 선분 $\rm CO, \; CQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm PAB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm RQS$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^2}$ 의 값은? (단, $0..