수악중독

그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 에서 선분 $\rm OB$ 를 $2:3$ 으로 내분하는 점을 $\rm C$ 라 하자. 점 $\rm P$ 에서 호 $\rm AB$ 에 접하는 직선과 직선 $\rm OB$ 의 교점을 $\rm Q$ 라 하고, 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$, 점 $\rm R$ 에서 선분 $\rm PQ$ 에 내린 수선의 발을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm POB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OCP$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PRS$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $80 \times \lim \lim..

최고차항의 계수가 $-2$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 두 실수 $a\; (a>0)$, $b$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x+1)}{x} & (x

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm PA}=\overline{\rm PC}=\overline{\rm PD}$ 가 되도록 호 $\rm PB$ 위에 점 $\rm C$ 와 선분 $\rm OA$ 위에 점 $\rm D$ 를 잡는다. 점 $\rm D$ 를 지나고 선분 $\rm OP$ 와 평행한 직선이 선분 $\rm PA$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle {\rm POA}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm CDP$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm EDA$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\..

함수 $f(x)=e^x+x$ 가 있다. 양수 $t$ 에 대하여 점 $(t, \; 0)$ 과 점 $(x, \; f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$ 에서 최소일 때, 실수 $f(s)$ 의 값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 의 역함수를 $h(t)$ 라 할 때, $h'(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $3$

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 호 $\rm AP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 호 $\rm PB$ 와 호 $\rm PQ$ 의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $\rm AP, \; BQ$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하고 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm BAP = \theta$ 라 할 때, 두 선분 $\rm PR, \; QR$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm PS, \; BS$ 와 호 $\rm BP$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를..

최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다. (나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$ $g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e..

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \ln |f(x)| & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 의 극솟값은? (가) 함수 $g(x)$ 는 $x \ne 1$ 인 모든 실수 $x$ 에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극대이고, 함수 $|g(x)|$ 는 $x=2$ 에서 극소이다. (다) 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. ① $\ln \dfrac{13}{27}$ ② $\ln \dfrac{16}{27}$ ③ $\ln \dfrac{19}{27}$ ④ $\ln \dfr..

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, $\angle \rm OAP$ 를 이등분하는 직선과 세 선분 $\rm HP, \; OP, \; OB$ 의 교점을 각각 $\rm Q, \; R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm APH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm AQH$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PSR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\t..

양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $g(5)+ \lim \limits_{t \to 5} g(t)=5$ 일 때, $\lim \limits_{t \to k-}g(t) \ne \lim \limits_{t \to k+}g(t)$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $16$

그림과 같이 좌표평면 위의 제2사분면에 있는 점 $\rm A$ 를 지나고 기울기가 각각 $m_1, \; m_2 \; (0