수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f \left (e^x \right ) +e^x$$ 이라 하자. 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, \; g(0))$ 에서의 접선이 $x$ 축이고 함수 $g(x)$ 가 역함수 $h(x)$ 를 가질 때, $h'(8)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{36}$          ② $\dfrac{1}{18}$          ③ $\dfrac{1}{12}$          ④ $\dfrac{1}{9}$          ⑤ $\dfrac{5}{36}$ 더보기정답 ①

두 상수 $a \; (1 \le a \le 2)$, $b$ 에 대하여 함수 $f(x)=\sin (ax+b+\sin x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.  (가) $f(0)=0, \; f(2\pi)=2\pi a+b$(나) $f'(0)=f'(t)$ 인 양수 $t$ 의 최솟값은 $4\pi$ 이다. 함수 $f(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대인 $\alpha$ 의 값 중 열린구간 $(0, \; 4\pi)$ 에 속하는 모든 값의 집합을 $A$ 라 하자. 집합 $A$ 의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$ 의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_1$ 이라 하면, $n\alpha_1 - ab=\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다...

함수 $f(x)=e^{3x}-ax$ ($a$는 상수)와 상수 $k$ 에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge k) \\ -f(x) & (x ① $e$          ② $e^{\frac{3}{2}}$          ③ $e^2$          ④ $e^{\frac{5}{2}}$          ⑤ $e^3$ 더보기정답 ①

점 $(0, \; 1)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 과 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 이 있다. 직선 $l$ 이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, 직선 $l$ 이 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점의 $x$ 좌표를 $f(\theta)$ 라 하자. $f \left (\dfrac{\pi}{4} \right )=a$ 일 때, $\sqrt{ f' \left ( \dfrac{\pi}{4} \right )}=pe+q$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p, \; q$ 는 정수이다.)  더보기정답 $5$

두 상수 $a \; (a>0), \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)=\left (ax^2+bx \right ) e^{-x}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $60 \times (a+b)$ 의 값을 구하시오. (가) $\{x \; | \; f(x)=f'(t) \times x\}=\{0\}$ 을 만족시키는 실수 $t$ 의 개수가 $1$ 이다.(나) $f(2)=2e^{-2}$ 더보기정답 $40$

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 위치가 각각 $$x_1 = t^2+t-6, \quad x_2 = -t^3+7t^2$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 위치가 같아지는 순간 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 가속도를 각각 $p, \; q$ 라 할 때, $p-q$ 의 값은? ① $24$          ② $27$          ③ $30$          ④ $33$          ⑤ $36$ 더보기정답 ①

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x)+f \left ( \dfrac{1}{2} \sin x \right ) = \sin x$$ 를 만족시킬 때, $f'(\pi)$ 의 값은? ① $-\dfrac{5}{6}$          ② $-\dfrac{2}{3}$          ③ $-\dfrac{1}{2}$          ④ $-\dfrac{1}{3}$          ⑤ $-\dfrac{1}{6}$ 더보기정답 ②

함수 $f(x)$ 를 $f(x)=(x+1)^2 (x-1)^2$ 이라 하자. $-1 \le x \le 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x) \le f'(t)(x-t)+f(t)$$ 를 만족시키도록 하는 실수 $t$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{2}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{1}{4}$          ④ $\dfrac{1}{5}$          ⑤ $\dfrac{1}{6}$ 더보기정답 ②

함수 $f(x)=\ln \left (e^x+2\right )$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 함수 $h(x)=\{g(x)\}^2$ 에 대하여 $h'(\ln 4)$ 의 값은? ① $2\ln 2$          ② $3\ln2$          ③ $4\ln 2$          ④ $5\ln 2$          ⑤ $6\ln 2$ 더보기정답 ③

$0  ① $\dfrac{1}{8}$          ② $\dfrac{1}{4}$          ③ $\dfrac{3}{8}$          ④ $\dfrac{1}{2}$          ⑤ $\dfrac{5}{8}$ 더보기정답 ④