수악중독

닫힌구간 \([0, \;4]\) 에서 정의되고, 열린구간 \((0, \;4)\) 에서 미분 가능한 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 직선 \(y=x\) 가 그림과 같다. \(f(2)=2,\;\;f(3)=3,\;\;f'(2)=1\) 이고, 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(f^{-1}(x)\) 가 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 미분 가능할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(f'(x)\) 는 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 증가한다.) ㄱ. \(\left ( f^{-1} \right )'(1)=1\) ㄴ. \(f'(3) \cdot \left (f^{-1} \right )'(3)=1\) ㄷ. 열린구간 \((0,\;4)\) 에서 \(f'(x) \cdot \left (f^..

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 \[f(x)=\dfrac{1}{27} \left ( x^4 -6x^3 +12x^2 +19x \right ) \] 에 대하여 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 \((2, \;2)\) 는 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점이다. ㄴ. 방정식 \(f(x)=x\) 의 실근 중 양수인 것은 \(x=2\) 하나뿐이다. ㄷ. 함수 \(|f(x)-g(x)|\) 는 \(x=2\) 에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(3x)=9f(x)\) 를 만족하는 다항함수 \(f(x)\) 가 있다. \(x=1\) 에서 연속인 함수 \(g(x)\) \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\ {f'\left( 1 \right)}&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.\]를 으로 정의할 때, \(g(12)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)

자연수 \(a, \;b\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+b}+2x-1}{x^n+1} \;\;(x>0)\) 이 \(x=1\) 에서 미분가능할 때, \(a+10b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(21\)

역함수가 존재하는 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(a)=0 \;(1

삼차함수 \(f(x)=x^3+6x^2+15x+a\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 \(f(t)\) 와 \(f'(t)\) 중 크지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, \(a\) 의 값은? ① \(10\) ② \(12\) ③ \(14\) ④ \(16\) ⑤ \(18\) 정답 ④

이차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)=f(x)e^{-x}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\left ( 1,\; g(1) \right )\) 과 점 \( \left ( 4,\; g(4) \right )\) 는 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이다. (나) 점 \((0, \;k)\) 에서 곡선 \(y=g(x)\) 에 그은 접선의 개수가 \(3\) 인 \(k\) 의 값의 범위는 \(-1

이차함수 \(f(x)=x^2 -ax\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 좌표평면에서 중심이 \(\left ( t,\; f(t) \right )\) 이고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원이 있다. 이 원 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 선분 \(\rm OQ\) 의 길이의 최솟값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\)가 두 점에서만 미분가능하지 않을 때, \(a^2 + 4r^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(r\) 은 양의 상수이고, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(35\)

함수 \(f(x)=kx^2 e^{-x} \;\;(k>0)\) 과 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \( \left ( t,\; f(t) \right )\) 에서 \(x\) 축까지의 거리와 \(y\) 축까지의 거리 중 커지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 \(k\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\) ③ \(\dfrac{e}{2}\) ④ \(\sqrt{e}\) ⑤ \(e\) 정답 ⑤

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 모든 실수에서 연속인 함수 \(g(x)\) 를 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\a&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.\] 로 정의하자. \(g(3)=g(1)\) 이고 \(g(x)\) 의 최솟값이 \(3\) 일 때, \(f(a)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(22\)