수악중독

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 가 \(f(-1)=-1, \; f(0)=1, \; f(1)=0\) 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 인 실수 \(a\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 두 개 이상 존재한다. ㄴ. \(f'(b)=-1\) 인 실수 \(b\) 가 구간 \((-1, \; 1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. \(f''(c)=0\) 인 실수 \(c\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

그림과 가이 함수 \(f(x)=1-e^{-x}\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 원점 \(\rm O\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_1\), 점 \(\rm Q_1\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm P_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \(\rm P_{\it n}\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_{\it n}\), 점 \(\rm Q_{\it n}\) 에서의 접선이 직선 \(y=1\) 과 만나는 점을 \(\rm ..

그림과 같이 함수 \(y=\ln x+4, \;\; y=e^{x-4}\) 의 그래프의 두 교점의 \(x\) 좌표를 각각 \(a,\;b\) 라 하자. 일차함수 \(y=-x+k\) 의 그래프가 \(a\leq x \leq b\) 에서 두 함수의 그래프와 만나는 점 사이의 거리가 최대가 될 떄, 상수 \(k\) 의 값은? ① \(\dfrac{7}{2}\) ② \(4\) ③ \(\dfrac{9}{2}\) ④ \(5\) ⑤ \(\dfrac{11}{2}\) 정답 ④

곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 직선 \(y=mx \;(m \ne -2)\) 의 두 교점을 \(\rm O, \;P\) 라 하고, \(\rm O, \;P\) 에서 곡선에 그은 두 접선의 교점의 \(x\) 좌표가 \(3\) 일 때, 곡선 \(y=x^2 -2x\) 와 선분 \(\overline{\rm OP}\) 로 둘러싸인 부분에 내접하는 삼각형 \(\rm OPQ\) 의 넓이가 최대가 되는 점 \(\rm Q\) 의 좌표를 \((a, \;b)\) 라고 한다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(6\)

원점에서 곡선 \(y=(x-a)e^{-x}\) 에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 자연수 \(a\) 의 최솟값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

곡선 \(y=-\ln (x-1)\) 을 \(y\) 축의 양의 방향으로 \(k\) 만큼 평행이동시키면 곡선 \(y=\ln (2x+1)+1\) 과 직교한다고 한다. 이때, 다음 중 \(k\) 의 값이 속하는 구간은? (단, 두 곡선이 직교한다는 것은 교점에서의 두 접선이 직교한다는 것을 뜻한다.) ① \(-2

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(1)=2\) (나) \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-1}{g(x)+1}=f'(2)\) \(f(5)\) 의 값은? ① \(28\) ② \(30\) ③ \(32\) ④ \(34\) ⑤ \(36\) 정답 ①

매개변수 \(t\) 로 나타내어진 함수 \[x=t-\sin t,\;\;y=1-\cos t\] 에 대하여 \(t=\dfrac{\pi}{3}\) 일 때의 \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) 의 값은? ① \(-4\) ② \(-2\) ③ \(0\) ④ \(2\) ⑤ \(4\) 정답 ①

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2, \;\;f'(1)=3\) (나) \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f'\{f(x)\} -1}{x-1}=3\) \(f''(2)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

제품을 \(x\) 만큼 생산하는데 드는 비용이 \(y\) 이고 생산량을 \(x=a\) 에서 \(\Delta x\) 만큼 늘릴 때 \(\Delta y\) 만큼의 비용이 늘어나면 \(\lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) 를 \(x=a\) 에서의 한계비용이라고 한다. 어떤 제품을 \(x\) 만큼 생산하는데 드는 비용을 \(y\) 라 하면 \[e^y=\ln \left (x^2 +1 \right )\] 을 만족한다. 이 제품의 \(x=1\) 에서의 한계비용은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{\ln 2}\) ③ \(\dfrac{2}{\ln 2}\) ④ \(\ln 2\) ⑤ \..