수악중독

어느 영어장에서 빈 수조에 물을 급수하여 가득 채우는 데 $45$ 분이 걸린다. 어느 날 오후 $1$ 시부터 수조에 가득 찬 물을 빼내기 시작하겨 수조의 물의 양이 수조 전체의 용량의 $\dfrac{1}{2}$ 이 되었을 때, 계속하여 물을 빼내면서 동시에 급수를 시작하였더니 같은 날 오후 $2$ 시 $30$ 분에 물이 다시 가득 찼다. 수조에 급수는 하지 않고 물을 빼내기만 한다면 가득 찬 물을 모두 빼낼 때까지 걸리는 시간은? (단, 단위 시간당 급수하는 물의 양은 일정하고, 빼내는 물의 양도 일정하다.) ① $45$ 분 ② $1$ 시간 ③ $1$ 시간 $15$ 분 ④ $1$ 시간 $30$ 분 ⑤ $1$ 시간 $45$ 분 정답 ④

흐르지 않는 물 위에서 배 $A$ 의 최대 속력은 배 $B$의 최대 속력의 $2$ 배이다. 시속 $2 \rm km/h$ 로 일정하게 흐르는 강의 상류를 향해 $A,\;\;B$ 가 같은 지점에서 최대 속력으로 동시에 출발하였다. $B$ 가 $20 \rm km$ 운항 후 고장이 나서 그 순간부터 $B$는 강물의 빠르기로 하류를 향해 표류하기 시작하였고, 동시에 $A$ 는 $B$ 를 구조하기 위해 선회해서 $B$ 를 향해 운항하였다. $A$ 가 선회 후 $1$ 시간 만에 $B$ 를 만났다면, 흐르지 않는 물 위에서 배 $A,\;\;B$ 의 최대 속력($\rm km/h$)의 합을 구하시오. (단, $A$의 선회 시간과 배의 크기는 고려하지 않는다.)..

그림과 같이 점 ${\rm A}(-2,\;0)$ 과 원 $x^2 +y^2 =4$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm AP$ 가 원 $(x-1)^2 +y^2 =1$ 과 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 $\rm P$ 에 가까운 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm OAP}=\theta$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{\theta ^2}$ 의 값은?① $\dfrac{5}{2}$ ② $3$ ③ $\dfrac{7}{2}$ ④ $4$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 정답 ④

두 함수 $f(x),\; g(x)$ 의 그래프는 다음과 같다. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ ㄴ. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( {f\left( x \right)} \right) = 1$ ㄷ. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 함수 $f\left( x \right),\;g\left( x \right)$가 두 조건 i) $x + f\left( x \right) = g\left( x \right)\left\{ {x - f\left( x \right)} \right\}$ ii) $\lim \limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 3$ 을 만족시킬 때, 에서 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 0} \large {{f\left( x \right)} \over x}$ ㄴ. $\lim \limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 0} \large {{{x^2} + f\lef..

무리방정식 $a - \sqrt {x - 2a} = 2x - 6$이 실근을 갖기 위한 상수 $a$의 최댓값은? ① $\large \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\large \frac{5}{4}$ ④ $\large \frac{3}{2}$ ⑤ $2$ 정답 ⑤

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{x^n}\sin {\Large {1 \over {{x^2}}}}} & {\left( {x \ne 0} \right)} \cr 0 & {\left( {x = 0} \right)}} } \right.\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)$ 의 값이 존재하기 위한 자연수 $n$ 의 값은 두 개 있다. ㄴ. $n=2$ 이면 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분불가능하다. ㄷ. $f~'(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이기 위한 자연수 $n$ 의 최솟값은 4이다. ① ㄱ..

삼차함수 $f(x)=x^3 +ax^2 +bx$ 가 아래의 두 조건을 만족한다. (가) $f(1)=4$ (나) $x \ge 0$ 일 때, $f(x)\ge 0$ 이때, 정수 $a$ 의 개수를 구하시오. 정답 10

그림과 같이 지름의 길이가 2이고, 두 점 $\rm A,\;B$ 를 지름의 양 끝으로 하는 반원 위에 점 $\rm C$ 가 있다. 점 $\rm C$ 에서 주어진 반원에 내접하는 원의 중심을 $\rm O$ 라 하자. 그리고 이 내접원은 점 $\rm D$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 접한다고 한다. $\angle \rm COD=\theta$ 이고, 삼각형 $\rm OCD$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라고 할 때, $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi } {\Large {{S\left( \theta \right)} \over {\pi - \theta }}} = {\Large {p \over q}}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하..

한 변의 길이가 1인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 두 대각선 $\overline {\rm AC},\; \overline {\rm BD}$ 의 교점을 $\rm O$ 라 하자. 점 $\rm O$ 를 중심으로 $\rm ABCD$ 를 각 $\theta$ 만큼 시계 반대 방향으로 회전한 것을 $\rm A'B'C'D'$ 이라 하자. 빗금친 부분의 넓이를 $S(\theta)$ 라고 할 때, $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {\Large {{S\left( \theta \right)} \over \theta }} = {\Large {p \over q}}$ 이다. $p^2 +q^2$의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수..