수악중독

어느 영어장에서 빈 수조에 물을 급수하여 가득 채우는 데 \(45\) 분이 걸린다. 어느 날 오후 \(1\) 시부터 수조에 가득 찬 물을 빼내기 시작하겨 수조의 물의 양이 수조 전체의 용량의 \(\dfrac{1}{2}\) 이 되었을 때, 계속하여 물을 빼내면서 동시에 급수를 시작하였더니 같은 날 오후 \(2\) 시 \(30\) 분에 물이 다시 가득 찼다. 수조에 급수는 하지 않고 물을 빼내기만 한다면 가득 찬 물을 모두 빼낼 때까지 걸리는 시간은? (단, 단위 시간당 급수하는 물의 양은 일정하고, 빼내는 물의 양도 일정하다.) ① \(45\) 분 ② \(1\) 시간 ③ \(1\) 시간 \(15\) 분 ④ \(1\) 시간 \(30\) 분 ⑤ \(1\) 시간 \(45\) 분 정답 ④

흐르지 않는 물 위에서 배 \(A\) 의 최대 속력은 배 \(B\)의 최대 속력의 \(2\) 배이다. 시속 \(2 \rm km/h \) 로 일정하게 흐르는 강의 상류를 향해 \(A,\;\;B\) 가 같은 지점에서 최대 속력으로 동시에 출발하였다. \(B\) 가 \(20 \rm km\) 운항 후 고장이 나서 그 순간부터 \(B\)는 강물의 빠르기로 하류를 향해 표류하기 시작하였고, 동시에 \(A\) 는 \(B\) 를 구조하기 위해 선회해서 \(B\) 를 향해 운항하였다. \(A\) 가 선회 후 \(1\) 시간 만에 \(B\) 를 만났다면, 흐르지 않는 물 위에서 배 \(A,\;\;B\) 의 최대 속력(\(\rm km/h\))의 합을 구하시오. (단, \(A\)의 선회 시간과 배의 크기는 고려하지 않는다.)..

그림과 같이 점 \({\rm A}(-2,\;0)\) 과 원 \(x^2 +y^2 =4\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 직선 \(\rm AP\) 가 원 \((x-1)^2 +y^2 =1\) 과 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 \(\rm P\) 에 가까운 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\angle {\rm OAP}=\theta\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{\theta ^2}\) 의 값은?① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(3\) ③ \(\dfrac{7}{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(\dfrac{9}{2}\) 정답 ④

두 함수 \(f(x),\; g(x)\) 의 그래프는 다음과 같다. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) ㄴ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) ㄷ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 함수 \(f\left( x \right),\;g\left( x \right)\)가 두 조건 i) \(x + f\left( x \right) = g\left( x \right)\left\{ {x - f\left( x \right)} \right\}\) ii) \( \lim \limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 3\) 을 만족시킬 때, 에서 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \( \lim \limits_{x \to 0} \large {{f\left( x \right)} \over x}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 0} \large {{{x^2} + f\lef..

무리방정식 \(a - \sqrt {x - 2a} = 2x - 6 \)이 실근을 갖기 위한 상수 \(a\)의 최댓값은? ① \( \large \frac{1}{2} \) ② \( 1\) ③ \(\large \frac{5}{4} \) ④ \(\large \frac{3}{2} \) ⑤ \(2\) 정답 ⑤

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{x^n}\sin {\Large {1 \over {{x^2}}}}} & {\left( {x \ne 0} \right)} \cr 0 & {\left( {x = 0} \right)}} } \right.\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)\) 의 값이 존재하기 위한 자연수 \(n\) 의 값은 두 개 있다. ㄴ. \(n=2\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=0\) 에서 연속이지만 미분불가능하다. ㄷ. \(f~'(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속이기 위한 자연수 \(n\) 의 최솟값은 4이다. ① ㄱ..

삼차함수 \(f(x)=x^3 +ax^2 +bx\) 가 아래의 두 조건을 만족한다. (가) \(f(1)=4\) (나) \(x \ge 0\) 일 때, \(f(x)\ge 0\) 이때, 정수 \(a\) 의 개수를 구하시오. 정답 10

그림과 같이 지름의 길이가 2이고, 두 점 \(\rm A,\;B\) 를 지름의 양 끝으로 하는 반원 위에 점 \(\rm C\) 가 있다. 점 \(\rm C\) 에서 주어진 반원에 내접하는 원의 중심을 \(\rm O\) 라 하자. 그리고 이 내접원은 점 \(\rm D\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 접한다고 한다. \(\angle \rm COD=\theta\) 이고, 삼각형 \(\rm OCD\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라고 할 때, \(\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi } {\Large {{S\left( \theta \right)} \over {\pi - \theta }}} = {\Large {p \over q}}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하..

한 변의 길이가 1인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 대각선 \(\overline {\rm AC},\; \overline {\rm BD}\) 의 교점을 \(\rm O\) 라 하자. 점 \(\rm O\) 를 중심으로 \(\rm ABCD\) 를 각 \(\theta\) 만큼 시계 반대 방향으로 회전한 것을 \(\rm A'B'C'D'\) 이라 하자. 빗금친 부분의 넓이를 \(S(\theta)\) 라고 할 때, \(\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {\Large {{S\left( \theta \right)} \over \theta }} = {\Large {p \over q}}\) 이다. \(p^2 +q^2 \)의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수..