수악중독

그림과 같은 모양의 $4$ 층 탑을 쌓았을 때, 크기가 같은 $44$ 개의 정육면체가 필요하였다. 이와 같은 규칙으로 $10$ 층 탑을 쌓으려고 할 때, 필요한 정육면체의 총 개수를 구하면? ① $650$ ② $670$ ③ $690$ ④ $710$ ⑤ $730$ 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$ 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 ${\rm P}_1$ 의 좌표는 $(1,\;1)$ 이다. (나) 점 ${\rm P}_n$ 의 좌표가 $(a,\;b)$ 일 때, \(b

다음은 $19$ 세기 초 조선의 유학자 홍길주가 소개한 제곱근을 구하는 계산법의 일부를 재구성한 것이다. $1$ 보다 큰 자연수 $p$ 에서 $1$ 을 뺀 수를 $p_1$ 이라 한다. $p_1$ 이 $2$ 보다 크면 $p_1$ 에서 $2$ 을 뺀 수를 $p_2$ 이라 한다. $p_2$ 이 $3$ 보다 크면 $p_2$ 에서 $3$ 을 뺀 수를 $p_3$ 이라 한다. $\vdots$ $p_{k-1}$ 이 $k$ 보다 크면 $p_{k-1}$ 에서 $k$ 을 뺀 수를 $p_k$ 이라 한다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 수 $p_n$ 이 $(n+1)$ 보다 작으면 이 과정을 멈춘다. 이때, $2p_n$ 이 \..

다음 그림은 동심원 $\rm O_1 ,\;O_2 , \; O_3 ,\; \cdots$ 과 직선 $l_1 , \;l_2 , \; l_3 ,\; l_4$ 의 교점 위에 자연수를 $1$ 부터 차례로 적은 것이다. 이미 채워진 수들의 규칙에 따라 계속하여 적어 나가면 $475$ 는 원 ${\rm O}_m$ 과 직선 $l_n$ 의 교점 위에 있다. $m+n$ 의 값을 구하시오. 정답 64

한 변의 길이가 $1$ 인 정$n$각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 $n$ 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정$n$각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 예를 들어, $S_3$ 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 $3$ 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, $S_{20}$ 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) ① ${\displaystyle \frac{287}{2}}\pi$ ② \({\displaystyle \frac{289}{2}}\pi\..

그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 $\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E$ 에 대하여 $\overline{\rm AB} \bot \overline{\rm BC},\;\; \overline {\rm BC} \bot \overline {\rm CD},\;\; \overline {\rm CD} \bot \overline{\rm DE}$ 가 성립한다. 세 선분 $\rm AO,\; OC, \;EA$ 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $\rm AB$ 의 기울기는? (단, $\rm O$ 는 원점이고 $\overline {\rm OA} < \overline {\rm OB}$ 이다.) ① $\sqrt{2}$ ② $\sqrt{3}$ ③ $2$ ④ \(\sqrt{5}\..

반지름의 길이가 $2\sqrt{3}$ 인 원이 있다. 그림과 같이 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록 별 모양의 도형 $S_1$ (어두운 부분)을 그린다 .또 $S_1$ 의 정육각형에 내접하는 원을 그리고, 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록 별 모양의 도형 $S_2$ (어두운 부분)를 그린다. 이와 같은 방법으로 별 모양의 도형 $S_3 ,\; S_4 ,\; \cdots , \; S_{10}$ 을 그릴 때, 도형 $S_{10}$ 의 넓이는? ① $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2^{15}}$ ② $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2^{16}}$ ③ \(\displayst..

그림과 같이 사분원 $\rm OAB$ 에 대하여 $\angle \rm AOB$ 를 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 $\rm A_1 , \;\; B_1$ 이라 하고, $\angle \rm A_1 OB_1$ 을 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 $\rm A_2, \;\; B_2$ 라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속할 때, $\angle \rm A_{10} OB$ 의 크기는? ① ${\displaystyle \frac{\pi}{4}} \left ( 1- {\displaystyle \frac{1}{3^9}} \right )$ ② \({\displaystyle \frac{\pi}{4}} \left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{3^9}}..

함수 $y=x^2$ 의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 $\rm P_1 , \;P_2 ,\; P_3 , \; \cdots$ 을 차례로 정한다. (가) 점 $\rm P_1$ 의 좌표는 $(1,\;1)$ 이다. (나) 직선 ${\rm P}_n {\rm P} _{n+1}$ 의 기울기는 $n$ 이다. ($n=1,\;2,\;3,\;\cdots$) 점 ${\rm P}_{2009}$ 의 $x$ 좌표는? ① $1001$ ② $1002$ ③ $1003$ ④ $1004$ ⑤ $1005$ 정답 ⑤

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 ${\rm A}_n$ 을 $4$ 개의 점 $\left ( n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; 4n^2 \right ), \;\; \left ( n^2 , \; 4n^2 \right )$ 을 꼭짓점으로 하는 정사각형이라 하자. 정사각형 ${\rm A}_n$ 과 함수 $y=k\sqrt{x}$ 의 그래프가 만나도록 하는 자연수 $k$ 의 개수를 $a_n$ 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $a_5 = 15$ ㄴ. $a_{n+2} - a_n =7$ ㄷ. \(\sum \limits _{k=1}^{10} a_..