수학1_여러 가지 수열_자연수 제곱의 합공식_난이도 상

한 변의 길이가 $1$ 인 정$n$각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 $n$ 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정$n$각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 예를 들어, $S_3$ 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 $3$ 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, $S_{20}$ 의 값은?
(단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.)

 

① ${\displaystyle \frac{287}{2}}\pi$          ② ${\displaystyle \frac{289}{2}}\pi$          ③ ${\displaystyle \frac{291}{2}}\pi$          ④ ${\displaystyle \frac{293}{2}}\pi$          ⑤ ${\displaystyle \frac{295}{2}}\pi$

 

정답  ①