수악중독

정사면체 $T_1$ 의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. $T_1$ 의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 $3$ 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 $4$ 개를 잘라내어 팔면체 $T_2$ 를 만든다. 다시 팔면체 $T_2$ 의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. $T_2$ 의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 $3$ 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 $12$ 개를 잘라내어 이십면체 $T_3$ 를 만든다. 이와 같은 방법으로 다면체 $T_4 , \; T_5 ,\; T_6$ 을 만들 때, 다면체 $T_6$ 의 며면의 개수는? ① $480$ ② $482$ ③ $484$ ④ $486$ ⑤ $488$ 정답 ⑤

등차수열 $\{a_n\}$ 과 등비수열 $\{b_n\}$ 은 다음 조건을 만족한다. (가) $a_1 =2 ,\;\; b_1 =2$ (나) $a_2 =b_2 ,\;\; a_4 = b_4$ $a_5 +b_5$ 의 값을 구하시오. (단, 수열 $\{b_n\}$ 의 공비는 $1$ 이 아니다.) 정답 10

$n$ 단으로 된 계단을 $1$ 단씩, $2$ 단씩 혹은 섞어서 오르는 방법의 가지수를 $a_n$ 이라 할 때, $a_n ,\;\; a_{n-1} ,\;\;a_{n-2}$ 의 관계식을 구하고, 이를 이용하여 $a_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $a_n = a_{n-1} +a_{n-2},\;\;\;a_{10}=89$

다음 표는 어느 학교에서 한 달 전에 구입한 휴대용 저장장치의 용량에 따른 $1$ 개당 가격과 개수의 현황을 나타낸 것이다. 현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 $40\%$ 씩 하락하였다. 이 학교에서 휴대용 저장 장치의 용량과 개수를 위 표와 동일하게 현재의 가격으로 구입한다면 지불해야 하는 금액은? (단, $a>0$ 이고 $b>0$ 이다.) ① $\dfrac{128}{5} ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{1}{4} \right ) ^2 \right \}$ ② $32 ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{3}{4} \right ) ^2 \right \}$ ③ \(32 ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{1..

그림과 같이 $1$ 부터 $1000$ 까지의 자연수가 쓰여진 흰색 종이띠에 $1$ 부터 시작하여 공차가 $4$ 인 등차수열의 수가 있는 부분에는 빨간색, $3$ 부터 시작하여 공비가 $3$ 인 등비수열의 수가 있는 부분에는 파란색을 칠하였다. 빨간색과 파란색이 겹쳐 칠해진 부분에 쓰여진 수 중에서 가장 큰 수를 구하시오. 정답 729

자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$ 이 원 $x^2 +y^2 =1$ 위의 점일 때, 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 다음 규칙에 따라 정한다. (단, 점 ${\rm P}_n$ 은 좌표축 위의 점이 아니다.) (가) 점 ${\rm P}_n$ 이 제 $1$ 사분면 위의 점이면, 점 ${\rm P}_{n+1}$ 은 점 ${\rm P}_n$ 을 원 위의 호를 따라 시계 반대 방향으로 $\dfrac{\pi}{2}$ 만큼 이동시킨 점이다. (나) 점 ${\rm P}_n$ 이 제 $2$ 사분면 또는 제 $4$ 사분면 위의 점이면, 점 ${\rm P}_{n+1}$ 은 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점이다. (다) ..

$a_1 =2, \; a_2 =1, \;\;a_{n+1} a_n - 2a_{n+2} a_n +a_{n+1} a_{n+2} =0 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 으로 정의된 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits _{k=1}^{20} {\displaystyle \frac{1}{a_k}}$ 의 값을 구하시오. 정답 105

그림과 같이 나무에 $55$ 개의 전구가 맨 위 첫 번째 줄에는 $1$ 개, 두 번째 줄에는 $2$ 개, 세 번째 줄에는 $3$ 개, $\cdots$, 열 번째 줄에는 $10$ 개가 설치되어 있다. 전원을 넣으면 이 전구들은 다음 규칙에 따라 작동한다. (가) $n$ 이 $10$ 이하의 자여연수일 때, $n$ 번째 줄에 있는 전구는 $n$ 초가 되는 순간 처음 켜진다. (나) 모든 전구는 처음 켜진 후 $1$ 초 간격으로 꺼짐과 켜짐을 반복한다. 전원을 넣고 $n$ 초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의 개수를 $a_n$ 이라고 하자. 예를 들어, $a_1 =1,\;a_4 =6,\; a_{11} =25$ 이다. \(\sum \limits _{n=1}^{14}..

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $\left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{n}} \right ) ^n >2$ 가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 $n$ 이 $6$ 이상의 자연수일 때, 부등식 $\left ( {\displaystyle \frac{n}{2}} \right ) >n!$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, $n!=1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n$) (i) $n=6$ 일 때 $3^6 = 729,\;\; 6!=720$ 이므로 성립한다. (ii) $n=k\;\;(k\ge 6)$ 일 때 성립한다고 가정하면 \(\left ( {\displaystyle \..

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1 =1$ 이고, $a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k \;\;(n\ge 2)$ 를 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식으로부터 $a_2 =7$ 이다. 자연수 $n \;\; ( n \ge 3)$ 에 대하여 $a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-2} (2k+1)a_k +(2n-1) a_{n-1}$ $= n^2 + a_{n-1} - (가) + (2n-1) a_{n-1}$ 이므로, $a_n +1 = 2n ( a_{n-1} +1 )$ 이 성립한다. 따..