수악중독

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $b_n = a_{n+1} -a_n$ 이라 할 때, 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? (단, $a_n b_n \ne 0$ ) ㄱ. 수열 $\{a_n\}$ 이 등비수열이면 수열 $\{b_n\}$ 도 등비수열이다. ㄴ. 수열 $\{b_n\}$ 이 등비수열이면 수열 $\{a_n\}$ 도 등비수열이다. ㄷ. 수열 $\{a_n\}$ 이 등비수열이면 수열 $\{a_n b_n\}$ 도 등비수열이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ④

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 $3$ 등분하여 [도형1]을 만들고, 세로 방향으로 $3$ 등분하여 [도형2]를 만든다. [도형1]과 [도형2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형1]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 $\rm A$ 라 하고, [도형1]의 개수와 [도형2]의 개수를 합하여 $n$ 개 붙여 만든 도형의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 꼭짓점 $\rm A$ 에서 꼭짓점 ${\rm B}_n$ 까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 $a_n$ 이라 할 때, $a_3 +a_7$ 의 값은? ① $26$ ② $28$ ③ $30$ ④ $32$ ⑤ $34$ 정답 ④

다음은 모든 자여연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$2$, (우변)=$2$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) $n=m$ 일 때 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m..

$3$ 으로도 $5$ 로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 $\{a_n\}$ 이라 한다. 예를 들면, $a_1 =1,\;\;a_2 =2,\;\;a_3 = 4$ 이다. 이때, $a_{100}$ 의 값은? ① $172$ ② $187$ ③ $195$ ④ $202$ ⑤$210$ 정답 ②

한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 모양의 검은 타일과 흰 타일이 있다. (가) [그림1]과 같이 검은 타일 $3$ 개와 흰 타일 $1$ 개를 붙여 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 이 되도록 한다. (나) [그림2]와 같이 [그림1]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림1]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. (다) [그림3]과 같이 [그림2]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림2]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. 이와 같은 과정을 계속하여 타일의 개수가 \(..

자연수 $n$ 과 \(0 \le p < r \le n+1,\;\;\; 0 \le q

자연수 $n$ 에 대하여 $n^2$ 을 $6$ 으로 나눈 나머지를 $a_n$ 이라 할 때, $a_n =4$ 를 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 34

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1 =2$ 이고, $a_{n+1} = a_n + (-1)^n \dfrac{2n+1}{n(n+1)} \;\; (n \ge 1)$ 을 만족시킨다. $a_{20}=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 39

그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 $(5 \times 100)$ 개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 나열한 것이다. (가) 제 $1$ 행에는 $1,\;2,\;3,\; \cdots ,\; 100$ 을 차례로 나열하고, 각 행의 첫 칸에는 모두 $1$ 을 나열한다. (나) 그림에 있는 $(2\times 2)$ 개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형 \( \matrix {a & b \\ c &d}\) 에서 등식 $d= \left | b-c \right |$ 가 성립하도록 한다. 예를 들면, \(\matrix {4 &5 \\ 2 & 3}\) 에서 $3= \left |5-2 \right |$ 가 성립한다. 이때 제 $5$ 행 (어두운 부분)에 나열된 $100$ 개의 수의 합을 구..

음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 ${\rm P}_n (a_n ,\; b_n )$ 이라 하자. ㄱ. $a_0 =1,\;\;b_0 =0$ ㄴ. 점 ${\rm P}_{n+1} (a_{n+1} ,\;b_{n+1} )$ 은 점 ${\rm P}_n (a_n ,\; b_n )$ 에서 원 $x^2 +y^2=1$ 의 호를 따라 시계 반대 방향으로 $\dfrac{\pi}{18}$ 만큼 이동한 점이다. 이때, $a_n =b_n$ 을 만족시키는 $n$ 은 (가). 그리고 $c_k = a_{18k}\;\;(k=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 라 하면, 수열 $\{c_k \}$ 는 공비가 (나)인 등비수열이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 것은?..