수악중독

수렴하는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 무한급수 \[\left ( a_1 - \dfrac{2}{1^2} \right ) + \left ( a_2 - \dfrac{2+4}{3^2} \right ) + \cdots + \left \{ a_n - \dfrac{2+4+6+\cdots+2n}{(2n-1)^2} \right \} + \cdots\] 이 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값은? ① \(0\) ② \(\dfrac{1}{6}\) ③ \(\dfrac{1}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ③

\(a_1=16\) 인 무한등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits_{k=1}^n a_k =S_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^\infty a_n\) 이 발산할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(S_{n+1})^2-(S_n)^2}{S_n}=\alpha\) 이다.\(\alpha+S_{10}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\alpha\) 는 상수이다.) 정답 \(192\)

그림과 같이 한 변의 길이가 \(3\) 인 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 이 있다. 네 선분 \(\rm A_1B_1\), \( \rm B_1C_1\), \(\rm C_1D_1\), \( \rm D_1A_1\) 을 각각 \(1:2\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm E_1,\; F_1,\;G_1,\;H_1\) 이라 하고, 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 \(\rm A_1E_1\), \(\rm B_1F_1, \; C_1G_1, \;D_1H_1\) 을 각각 반지름으로 하는 \(4\) 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 \(R_1\) 이라 하자. 정사각형 \(\rm E_1F_1G_1H_1\) 과 도형 \(R_1\) 과의 교점 중 정사각..

무한급수 \(\left ( \dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{3} \right )+\left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4} \right )+\left ( \dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{5} \right )+\cdots \) 의 합은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③

수열 \(\{a_n\}\) 의 계차수열 \(\{b_n\}\) 이 다음을 만족시킬 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) \)의 값을 구하시오. (단, \(a_1>0\)) (가) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n=2\)(나) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_n}{a_na_{n+1}} = \dfrac{1}{12}\) 정답 \(10\) \(\therefore \lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) = a_1+a_1+2=4+4+2=10\)

정수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2^a \times 3^b = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}\) 가 성립할 때, \(a^2 +b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)

\(2500 \rm L\) 의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 \(1200 \rm L\) 의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 \(12%\) 를 사용한 다음 \(x \rm L\) 의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 \(n\) 번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 \(a_n \rm L\) 라 하자. 부등식 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n \leq 2000\) 이 성립하도록 하는 \(x\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(240\)

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 \(1\) 호 댐과 \(2\) 호 댐이 있다. 강 상류의 \(1\) 호 댐으로부터 \(2\) 호 댐으로 매일 \(100\) 만톤의 물이 유입되고, 정오에 \(2\) 호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 \(2%\) 를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 \(2\) 호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)① \(4400\) 톤 ② \(4600\) 톤 ③ \(4800\) 톤 ④ \(5000\) 톤 ⑤ \(5200\) 톤 정답 ④

무한등비수열 \( \left \{ \left ( - \sin \dfrac{k \pi}{4} \right ) ^n \right \}\) 이 수렴하도록 하는 \(10\) 이하의 자연수 \(k\) 의 개수는? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ④

자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 제\(n\)행에 \(0\) 과 \(1\) 사이의 유리수 중에서 분모는 \(2^n\) 이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다. 제\(1\)행 \(\dfrac{1}{2}\) 제\(2\)행 \(\dfrac{1}{4},\; \dfrac{3}{4}\) 제\(3\)행 \(\dfrac{1}{8}.\; \dfrac{3}{8},\; \dfrac{5}{8}, \; \dfrac{7}{8}\) \(\vdots\) 제 \(n\) 행의 마지막 수를 \(a_n\), 제\(n\)행의 모든 수의 합을 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\left ( 2^n +1 \right ) a_n}\) 의 값은? ① ..