수악중독

무한급수 \(a_1 + \left (a_2 -\dfrac{1}{2} \right ) + \left ( a_3 - \dfrac{2}{3} \right ) + \left ( a_4 - \dfrac{3}{4} \right ) + \cdots \) 가 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)

무한급수 \(\dfrac{x+3}{5}+\dfrac{(x+3)(x-5)}{5^2}+\dfrac{(x+3)(x-5)^2}{5^3}+ \cdots\) 이 수렴하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(42\)

무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (x+1) \left ( 1-\dfrac{x}{4} \right )^{n-1}\) 의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(27\)

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y= \log _c |x|\) 의 그래프와 직선 \(y=n\) 의 교좀의 \(x\) 좌표를 각각 \(a_n ,\; b_n \; (a_n >b_n)\) 이라 할 때, 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a_n+b_n=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n=0\) 이면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{c}{1-c}\) 이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{b_n}\) 이 발산하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 발산한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,..

두 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 에 대하여 \[ a_n+b_n=2+\dfrac{1}{n}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty}(a_n+b_n)=2\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하면 수열 \(\{b_n\}\) 도 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 + 3a_2=0,\;\; a_1+a_2+a_3=28\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)

\(a_1=1,\; 2a_{n+1}+a_n=2\;(단, \;n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 를 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. 수열 \(\left \{ a_n -\dfrac{2}{3} \right \}\) 는 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty}a_n\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

무한수열 \(\{a_n\}\) 을 \[{a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}0\\1\\2\end{array}}\right.\;\;\;\;\begin{array}{ll}{\left( {n = 3k - 2} \right)}\\{\left( {n = 3k - 1} \right)}\\ {\left( {n = 3k} \right)}\end{array}\;\; (단, \; k는 \; 자연수)\]로 정의할 때 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{4^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{4}\) ② \(\dfrac{2}{21}\) ③ \(\dfrac{13}{32}\) ④ \(\dfrac{17}{54}\) ⑤ \(\dfrac{29}{63}\) 정답 ②

\(2\) 보다 큰 자연수 \(n\) 에 대하여 \((-3)^{n-1}\) 의 \(n\) 제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=3}^{\infty} \dfrac{a_n}{2^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{5}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ① 실근의 개수가 왜 0, 1이 되는지 모르시는 분들은 거듭제곱근 개념을 다시 공부하셔야 합니다.

자연수 \(n\) 에 대하여 두 점 \({\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n\) 이 함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위의 점일 떄, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 \({\rm P}_0, \; \rm P_1\) 의 좌표는 각각 \((0, \;0),\;(1, \;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \({\rm P}_{n-1} {\rm P}_n\) 에 수직인 직선과 함수 \(y=x^2\) 의 그래프의 교점이다. (단, \({\rm P}_n\) 과 \({\rm P}_{n+1}\) 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..