수악중독

무한수열 \(\{a_n\},\;\{ b_n\}\) 에 대하여 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(\alpha\) 는 상수) ㄱ. \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n = \alpha ,\;\; \lim \limits _{n \to \infty} b_n =0 \) 이면 \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n b_n =0\) 이다. ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n = \alpha ,\;\; \lim \limits _{n \to \infty} (a_n - b_n )=0 \) 이면 \(\lim \limits _{n \to \infty} b_n =\alpha \) 이다. ㄷ. \(\lim \limits _{n \to \i..

두 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} (a_n -1) , \;\; \sum \limits _{n=1}^{\infty} (b_n +1) \) 이 모두 수렴할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n =1\) ㄴ. \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} b_n \) 은 발산한다. ㄷ. \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} (a_n +b_n ) \) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

수열 \(\{a_n\}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\dfrac{S_n}{a_n}} \) 의 값이 존재하는 것을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_n = 2^n \) ㄴ. \( a_n = (-1)^n \) ㄷ. \( S_n = 3^n -1\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

행렬 \(A= \left ( \matrix {4 & -2a \\ 2 & -a} \right ) \) 와 수열 \(\{x_n\},\;\; \{y_n\}\) 에 대하여 \[ A^n \left ( \matrix {4 \\ 1} \right ) = \left ( \matrix {x_n \\ y_n} \right ) \;\;\; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots) \] 인 관계가 있다. \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n = \lim \limits _{n \to \infty} y_n =0 \) 일 때, 모든 정수 \(a\) 의 값의 합을 구하시오. 정답 12

다음 무한급수의 합을 구하면?\[\frac{3}{{1 - {3^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{1 - {3^4}}} + \frac{{{3^4}}}{{1 - {3^8}}} + \cdots + \frac{{{3^{{2^{n - 1}}}}}}{{1 - {3^{{2^n}}}}} + \cdots \]① \(-1\) ② \(-\dfrac{1}{2}\) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ②

좌표평면 위의 네 점 \(\rm O (0,\;0),\;\; A(1,\;0),\;\; B(1,\;1),\;\;C(0,\;1)\) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형을 \(A_1\) 이라 하고, \(A_1\) 을 합동인 네 개의 정사각형으로 나누었을 때, 오른쪽 위의 정사각형을 \(A_2\) 라 한다. \(A_2\) 를 합동인 네 개의 정사각형으로 나누었을 때, 왼쪽 아래의 정사각형을 \(A_3\)라 하고, \(A_3\) 을 합동인 네 개의 정사각형으로 나누었을 때의 오른쪽 위의 정사각형을 \(A_4\) 라 한다. 이와 같이, 정사각형 \(A_5 ,\; A_6 , \; A_7 , \; \cdots \) 을 한없이 만들어 나갈 때, 정사각형 \(A_n\) 의 두 대각선의 교점의 \(x\) 좌표를 \(a_n\) 이라 ..

오른쪼 그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm P_1\) 에서 직선 \(\rm AB\) 와 이루는 각의 크기가 \(\theta\) 인 반직선을 그어 선분 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_1\) 이라 하고, 점 \(\rm Q_1\) 에서 직선 \(\rm BC\) 와 이루는 각의 크기가 \(\theta\) 인 반직선을 그어 선분 \(\rm CD\) 와 만는 점을 \(\rm R_1\) 이라 한다. 점 \(\rm R_1\) 에서 직선 \(\rm CD\) 와 이루는 각의 크기가 \(\theta\) 인 반직선을 그어 선분 \(\rm DA\)와 만나는 점을 \(\rm S_1\) 이라 하고, 다시 점 \(\..

수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의한다. $$a_n = { \dfrac{1}{2^{n-1}}} \cdot {\rm max} \left ( {\frac{1}{2}}, \;\; \left | \sin \left ( { \frac{\pi}{6}} + { \frac{n-1}{3}} \pi \right ) \right | \right ) $$ 이 때, $\sum \limits _{n=1}^{\infty} (a_{3n-2} + a_{3n} )$ 의 값은? $ \left ( 단, \; {\rm max} (x,\;y) = \left \{ {\begin{array}{ll}{x\;\left( {x \ge y} \right)}\\{y\;\left( {x < y} \right)}\end{array}} \right. ..