수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=n\) 과 함수 \(y= \tan x\) 의 그래프가 제 \(1\) 사분면에서 만나는 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\) 번째 수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\dfrac{\pi}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4} \pi \) ④ \(\pi\) ⑤ \(\dfrac{5}{4} \pi \) 정답 ④

직사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에서 \(\overline{\rm A_1 B_1} =1,\; \overline{\rm A_1 D_1}=2\) 이다. 그림과 같이 선분 \(\rm A_1 D_1\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(M_1, \; N_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm N_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm B_1 N_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm N_1 M_1 B_1\) 을 그리고, 중심이 \(\rm D_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm C_1 D_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\..

한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형과 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. [그림 1]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 \(\rm ABC\) 를 회전시킨다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 \(n\) 바퀴 도는 동안, 변 \(\rm BC\) 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(n=1\) 일 때, [그림 2]와 같이 변 \(\rm BC\) 가 \(2\) 회 놓이므로 \(a_1 =2\) 이다. 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{3n-2}}{n}\) 의 값은? ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ..

실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(a)\) 를 \[ f(a)=\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{a^{n+1} +a^{-n} -1}{a^n +a^{-n+1} +1} \] 로 정의할 때, \(f \left ( f \left ( -\dfrac{1}{2} \right ) \right ) \) 의 값은? (단, \(a \ne 0\) ) ① \(-2\) ② \(-\dfrac{1}{2}\) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(2\) 정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에 대하여 점 \({\rm A}_{n+1}\), \( {\rm B}_{n+1}\), \( {\rm C}_{n+1}\), \( {\rm D}_{n+1}\) 을 다음 조건을 만족시키도록 정한다. (단, \(n=1, \;2, \;3, \cdots\) ) (가) 네 개의 삼각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm A}_{n+1}\), \({\rm B}_n {\rm C}_n {\rm B}_{n+1}\), \({\rm C}_n {\rm D}_n {\rm C}_{n+1}\), \({\rm D}_n {\rm A}_n {\rm D}_{n+1}\) 은 두 내각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 로 같은 이등변삼각형..

\(0\) 또는 \(3\) 으로만 이루어진 수열 \(\{a_n \}\) 이 있다. 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{5^n}= \dfrac{5}{8}\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{2012} a_n\) 의 값은? ① \(503\) ② \(1006\) ③ \(1509\) ④ \(2012\) ⑤ \(3018\) 정답 ⑤

첫째항이 \(2\) 인 두 등비수열 \(\{a_n \} ,\; \{ b_n \}\) 이 다음을 만족한다.\[\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n =4,\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n =6\] 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( a_n -b_n \right ) ^2\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{12}\) ② \(\dfrac{8}{15}\) ③ \(\dfrac{2}{3}\) ④ \(\dfrac{3}{4}\) ⑤ \(\dfrac{7}{8}\) 정답 ②

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 지름 \(\rm AB\) 의 길이가\(4\) 인 원이 있다. 두 선분 \(\rm AO, \; BO\) 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그린 후, 이 두 원에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원을 그린다. 이렇게 그린 네 원의 내분에 색을 칠하여 얻은 그림을 \(T_1\) 이라 하자. 그림 \(T_1\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 두 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부의 색을 지워 얻은 그림을 \(T_2\) 라 하자.그림 \(T_2\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 네 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리..

좌표평면에 원 \(C_1 : x^2 +y^2 =9\) 가 있다. 그림과 같이 \(x\) 축 위의 점 \({\rm A}(5,\;0)\) 에서 원 \(C_1\) 에 두 개의 접선 \(l_1 , \; l_2\) 를 그었을 때 생기는 접점을 각각 \(\rm P_1 , \; Q_1\) 이라 하고, 원 \(C_1\) 과 \(x\) 축의 교점 중 \(x\) 좌표가 음수인 점을 \(\rm R_1\) 이라 하자. 중심이 \(x\) 축 위에 있고 중심의 \(x\) 좌표가 양수이면서 원 \(C_1\) 과 외접하고 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 에 접하는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 와 원 \(C_1\) 의 접점을 \(\rm R_2\), 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 와의 교점을 각각 \(\..

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형을 \(R_1\) 이라 하자. 그림과 같이 \(R_1\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_1\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_2\) 라 하자. 정사각형 \(R_2\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_2\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 정사각형을 \(R_n\) 이라 하자. 정사각형 \(R_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}..