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목록(8차) 수학1 질문과 답변/수열의 극한 (188)
수악중독
그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 \(\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1, \;B_1,\;C_1\) 에 대하여 선분 \(\rm A_1C_1\) 을 \(4:1\) 로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_2, \;B_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm A_2B_2C_2\) 가 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_2\) 를 정한다. 또, 선분 \(\rm A_2C_2\) 를 \(4:1\)로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_3, \;B_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm A_3B_3C_3\) 이 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_3\) 를 정한다. 이..
두 수열 \(\{a_n\}, \;\{b_n\}\) 의 일반항이 각각 \[ a_n = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}, \;\;\; b_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{k-1}\] 이다. 좌표평면에서 중심이 \((a_n ,\; b_n)\) 이고 \(y\) 축에 접하는 원의 내부와 연립부등식 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{y \le {b_n}}\\{2x + y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\) 이 나타내는 공통부분을 \(P_n\) 이라 하고, \(y\) 축에 대하여 \(P_n\) 과 대칭인 영역을 \(Q_n\) 이라 하자. \(P_n\) 의 넓이와 \(Q_n\)..
그림과 같이 길이가 \(8\) 인 선분 \(\rm AB\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 삼등분점 \(\rm A_1,\;B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm A_1B_1\) 을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_1, \;Q_1\) 이라고 하자. 선분 \(\rm A_1B_1\) 의 삼등분점 \(\rm A_2, \;B_2\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_2B_2\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_2, \;Q_2\) 라고 하자. 선분 \(\rm A_2B_2\) 의 삼등분점 \(\rm A_3, \;B_3\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_3B_3\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(..
그림과 같이 한 변의 길이가 \(a\) 인 정사각형 \(\rm OB_1C_1A_0\) 이 있다 삼각형 \(\rm OA_1D_1\) 이 \(\angle \rm D_1OA_1=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_1C_1\), \(\rm A_0C_1\) 위에 각각 점 \(\rm A_1, \;D_1\) 을 잡고 변 \(\rm OA_1\) 의 길이를 \(l_1\) 이라 하자. 선분 \(\rm OA_1\) 을 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm OB_2C_2A_1\) 에서 삼각형 \(\rm OA_2D_2\) 가 \(\angle \rm D_2OA_2=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_2C_2\), \(\rm A_1C_2\) 위에 각각 점 \(\rm A_2..
그림과 같이 \(\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1\) 인 직사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 에서 선분 \(\rm A_1D_1\) 의 중점을 \(\rm M_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\rm A_1B_1\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 을 그리고, 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 의 호 \(\rm B_1M_1\) 이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하고, 중심이 \(..
두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 \[a_n=\dfrac{1}{2^{n-2}} \cos \dfrac{(n-1)\pi}{2},\;\; b_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2^n}\] 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(k\) 에대하여 \(a_{3k}
\(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(C\) 를 \(x\) 축의 방향으로 \(\dfrac{2}{n}\) 만큼 평행이동시킨 원을 \(C_n\) 이라 하자. 원 \(C\) 와 원 \(C_n\) 의 공통현의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{(nl_n)^2}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(19\)
두 무한수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 의 일반항이 \[a_n=\cos n \pi ,\;\; b_n = \sin \dfrac{2n-1}{2}\pi\] 일때, 옳은 것을 에서 모두 고르면? ㄱ. 수열 \( \left \{ \dfrac{a_n}{b_n} \right \}\) 은 수렴한다. ㄴ. 수열 \(\{ a_n +b_n\}\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n) = \lim \limits_{n \to \infty} a_n + \lim \limits_{n \to \infty} b_n\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 ..
아래 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(\rm A_1 (0.\;8)\) 을 이은 선분 \(\rm OA_1\) 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_1 B_1\) 을 그린다. 점 \(\rm B_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_2\) 라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_2\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 를 그린다. 점 \(\rm B_2\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_3\) 이라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_3\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_3B_3\) 을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 ..