수악중독

그림과 같이 넓이가 \(M\)인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 자연수 \(n\) 과 선분 \(\rm AC\) 위의 두 점 \( \rm D,\;E\) 에 대하여 \(\overline{\rm AD} : \overline{\rm DE} : \overline{\rm EC} = n:(2n+1):(3n+2)\) 이고 \(\overline{\rm DE} // \overline{\rm AB},\;\; \overline{\rm GE} // \overline{\rm BC}\) 이다. 선분 \(\rm DF\) 와 선분 \(\rm GE\) 의 교점을 지나는 선분 \(\rm HI\) 는 선분 \(\rm AC\) 와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to..

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm A}_n\) 이 함수 \(y=4^x\) 의 그래프 위의 점을 때, 점 \({\rm A}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm A}_1\) 의 좌표는 \((a, \; 4^a )\) 이다. (나) (1) 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 한다. (2) 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log _4 x\) 와 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 한다. (3) 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm ..

한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm BC\) 위에 양 끝점이 아닌 한 점 \(\rm P_0\) 를 잡는다. 그림과 같이 \(\rm P_0\) 을 지나고 변 \(\rm AB\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_1\) , 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 변 \(\rm BC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 \(\rm P_2\), 점 \(\rm P_2\) 를 지나고 변 \(\rm AC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_3\) 이라 하자.이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하고, 점..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 세 변 \(\rm B_1 C_1 ,\;\; C_1 A_1 ,\;\; A_1 B_1\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_1 ,\;\; E_1 , \;\; F_1\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_1 D_1 ,\;\; B_1 E_1 ,\;\; C_1 F_1\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_2 , \;\; B_2 ,\;\; C_2\) 라 하자. 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 세 변 \(\rm B_2 C_2 ,\;\; C_2 A_2 ,\;\; A_2 B_2\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_2 ,\;\; E_2 , \;\; F_2\) 이라 하고, 세 ..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=\log_3 x\) 의 그래프 위의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 점을 \({\rm A}_n\) 이라 하자. 그래프 위의 점 \({\rm B}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm C}_n\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \({\rm C}_n\) 은 선분 \({\rm A}_n {\rm B}_n\) 과 \(x\) 축의 교점이다.(나) \(\overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}\;:\; \overline{{\rm C}_n {\rm B}_n} = 1:2\) 점 \({\rm C}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac..

모든 항이 양수인 수열 \( \{ a_n \} \) 이 \( \lim \limits_{n \to \infty } (\sqrt {a_n + n} - \sqrt n ) = 5\) 를 만족시킬 때, \( \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}\) 의 값을 구하시오. 정답 10

자연수 \( n \) 에 대하여 함수 \( y = {\rm log} _ c | x | \) 의 그래프와 직선 \( y =n \) 의 교점의 \( x \) 좌표를 각각 \( a_n , \; b_n \; ( a_n > b_n ) \) 이라 할 때, 수열 \( \{ a_n \} , \; \{ b_n \} \) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (4점) ㄱ. \( a_n + b_n = 0 \) ㄴ. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } b_n = 0 \) 이면 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n = \dfrac{c}{1-c}\) ㄷ. \(\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{b_n}\) 이 발산하면 \(\s..

수열 \(\{x_n \} \) 과 원 \(C_n\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x_1 =1,\; x_{n+1} = x_n +p^n \) (\(p\) 는 \(0

한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외저접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 \(3\) 개의 정육각형을 그려서 얻은 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_1\) 이라 하고, 그림 \(H_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 그림 \(H_1\) 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 \(H_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 \(3\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_2\) 라 하고, 그림 \(H_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 그려서 얻은 \(3^{n-1}\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_n\)..

수열 \(\{a_n\}\) 은 다음과 같이 자연수 \(1\) 이 \(1\) 개, \(2\) 가 \(2\) 개, \(\cdots\), \(n\) 이 \(n\) 개가 나열되는 수열이다.\(\{a_n\} \;:\; 1,\;2,\;2,\;3,\;3,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;\cdots\) \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}} \) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(4\) 정답 ②