수학1_무한급수_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(3\) 인 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 이 있다. 네 선분 \(\rm A_1B_1\), \( \rm B_1C_1\), \(\rm  C_1D_1\), \( \rm D_1A_1\) 을 각각 \(1:2\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm E_1,\; F_1,\;G_1,\;H_1\) 이라 하고, 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 \(\rm A_1E_1\), \(\rm B_1F_1, \; C_1G_1, \;D_1H_1\) 을 각각 반지름으로 하는 \(4\) 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 \(R_1\) 이라 하자.

정사각형 \(\rm E_1F_1G_1H_1\) 과 도형 \(R_1\) 과의 교점 중 정사각형 \(\rm E_1F_1G_1H_1\) 의 꼭짓점이 아닌 \(4\) 개의 점을 \(\rm A_2\), \(\rm B_2\), \(\rm C_2\), \(\rm D_2\) 라 하자. 정사각형 \(\rm A_2B_2C_2D_2\) 에서 네 선분 \(\rm A_2B_2\), \(\rm  B_2C_2\), \(\rm C_2D_2\), \(\rm D_2A_2\) 를 각각 \(1:2\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm E_2, \;F_2,\; G_2,\; H_2\) 라 하고, 정사각형 \(\rm A_2B_2C_2D_2\) 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 \(\rm A_2E_2, \; B_2F_2,\; C_2G_2,\; D_2H_2\) 를 각각 반지름으로 하는 \(\4) 개의 사분원을 잘라내어 얻은  모양의 도형을 \(R_2\) 라 하자.

정사각형 \(\rm E_2F_2G_2H_2\) 에서 도형 \(R_2\) 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 \(R_3\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 모양의 도형 \(R_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{39}{32}(9-\pi)\)          ② \(\dfrac{5}{4}(9-\pi)\)          ③ \(\dfrac{21}{16}(9-\pi)\)    

     

④ \(\dfrac{11}{8}(9-\pi)\)          ⑤ \(\dfrac{45}{32}(9-\pi)\)         

 

 

 

정답 ⑤